¿Puede haber números complejos positivos y negativos? ¿Por qué sí o por qué no?
¿Y qué hay de los números imaginarios positivos o negativos?
Parece muy tentador decir que $+5i$ es un número positivo mientras que $-2i$ es un número negativo. En un diagrama de Argand (plano complejo) $+5i$ sería representado por un punto por encima del eje horizontal mientras que $-2i$ es un punto por debajo del eje horizontal.
[comienzo de la teoría descabellada]
¡¡¡Los matemáticos han cometido un gran error al pensar que un cierto número imaginario es $i$ y otro es $-i$, cuando en realidad es al revés!!!
[fin de la teoría descabellada]
Si alguien tomara la posición anterior e intentara reescribir todas las matemáticas de manera consistente con la teoría expuesta anteriormente, el resultado sería que nada cambiaría en absoluto. No importa cuál se llame $i$ y cuál se llame $-i.
En algunos contextos tiene sentido prestar atención a si la parte real de un número complejo es positiva. Una serie de Dirichlet $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}$ converge si la parte real de $s$ es mayor que la parte real de la
@hb20007: No. Estoy diciendo que la elección de cuál se llama $i$ y cuál se llama $-i$ no importa.
Creo que deberías ampliar en qué exactamente significa "nada en absoluto cambiaría" y cómo lo justificas. Algo que ver con que haya un automorfismo intercambiándolos, supongo.
Puedes convertir $\mathbb{C}$ en un conjunto totalmente ordenado y luego definir $a \geq b$ si y solo si $a-b \geq 0$. Un ejemplo de ese orden total en $\mathbb{C}$ es el orden lexicográfico definido en $\mathbb{R}^2.
El problema es que si lo haces, entonces al restringir este nuevo orden a $\mathbb{R}$ como subconjunto de $\mathbb{C}$ y esperas que satisfaga los axiomas del orden de campo, este orden no coincidirá con el orden habitual en $\mathbb{R}$. Por lo tanto, no puedes pensar en este orden como una extensión del orden que tenemos en $\mathbb{R}.
De hecho no es posible definir un orden en $\mathbb{C}$ que interactúe con la adición y la multiplicación de la misma manera que lo hacen los elementos de $\mathbb{R}.. Esto se debe a que al aceptar los axiomas del orden de campo en $\mathbb{R}$, puedes demostrar que $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \geq 0$, mientras que este teorema se rompe en $\mathbb{C}$ porque $i^2 < 0$.
El plano complejo no tiene una dirección especial. Por eso, en mi opinión. La línea real, por otro lado, sí la tiene. Es similar al hecho de que el tiempo tiene una dirección y el espacio no.
También argumentaría en contra de los números imaginarios "positivos". Dado que definimos $i$ como la solución de la ecuación $x^2 = -1$, cabe destacar que $-i$ también es una solución. Por lo tanto, en realidad no podemos distinguir entre $i$ y $-i.
Nunca se puede hacer complejos un campo ordenado lineal, ya que cualquier campo ordenado es un campo formalmente real
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