Quiero describir el uso de los números Ordinales como mucho bajo nivel de matemáticas como sea posible, pero necesito ejemplos para explicar la idea general. Quiero mostrar cómo ciertos objetos matemáticos se construyen utilizando recursión transfinita, pero no puedo pensar en nada sencillo y, sin embargo, no de aspecto artificial. El más simple ejemplo natural que tengo son conjuntos de Borel, el cual puede ser definido a través de la recursión transfinita, pero creo que ya es demasiado (otro ejemplo son Conway Surrealista números, pero que de nuevo, puede que ya sea demasiado).
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Usted puede encontrar algo útil en este post por Tim Gowers: http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/ordinals.html. Especialmente su primer ejemplo, con (contables) ordinales introducido como una notación conveniente para la indización de un aumento de la secuencia de acotado el aumento de las secuencias (y en muchos niveles, tal vez), fue muy revelador para mí.
Es decir, si $a_n \nearrow a$, e $a < b_n \nearrow b$, e $b < c_n \nearrow c$, etc., tendremos la anotación problema de la ejecución de las cartas después de un tiempo. Pero por el contrario, podemos escribir $a_{\omega}$ en lugar de $a$, e $a_{\omega+n}$ en lugar de $b_n$, e $a_{2\omega}$ en lugar de $b$, e $a_{2\omega+n}$ en lugar de $c_n$, etc., y por lo tanto el índice de todos los números mediante un único símbolo $a$ con los ordinales que se adjunta como subíndices. Incluso countably muchas secuencias no será un problema, ya que entonces sólo tiene que indicar el límite de la secuencia de $(a_{n\omega})_{n=1}^{\infty}$$a_{\omega^2}$. Y así sucesivamente...
Heimdall
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Sólo he encontrado esta pregunta, pero aquí es una "práctica" de la aplicación.
Supongamos que yo digo algo estará listo dentro de 7 días. Que es representado por el número 7. Cada día me dicen que un número menor que el día anterior, y cuando digo cero, de que algo está listo. En el segundo día me puede decir 6, o 3, o incluso 0.
¿Y si yo digo: "voy a decirle a usted mañana ¿cuánto tiempo tardará." o "Dentro de los 3 días voy a decirle a usted cuánto tiempo va a tomar." - puede ser representado por una forma generalizada de un número? Sí, se puede: números ordinales.
Primer ejemplo: hoy me dice $\omega$. Eso significa que mañana voy a tener que dar un número finito (vamos a llamar a $n$) debido a que sólo finito de números son más pequeños de lo $\omega$. Por lo tanto, usted sabrá mañana que estará listo dentro de $n$ días
Segundo ejemplo: hoy me dice $\omega+2$. (No, no es $\omega+3$.)
Podemos ir más lejos: en el plazo de 7 días voy a decirle a usted cuando voy a saber cuánto tiempo va a tomar ($\omega\cdot2+6$) o incluso mañana voy a saber cuando voy a saber cuando voy a saber cuando voy a saber cuándo está listo ($\omega\cdot4$).
Si llamamos a la última toma de 4 etapas, a continuación, imagina esto: mañana os contaré cómo muchas fases en las que se va a tomar. Eso es $\omega^\omega$.
Así que los números ordinales pueden expresar información sobre desconoce el tiempo de espera que es, sin duda finito. ¿Todo el mundo puede ver por qué es así? O por qué las siguientes es verdadera? Iniciar la secuencia con cualquier número ordinal y el seguimiento de cada número por uno más pequeño; eventualmente vendrá a cero (en pasos finitos).
Luboš Motl
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Yo creo que el más pedagógico manera de mirar los números ordinales es la tarea: ¿Cómo se escribe el (lo suficientemente simple) las expresiones para arbitrariamente grande - por lo general, extremadamente de gran enteros por adición, multiplicación y exponenciación que impliquen un par de números pequeños como$1,2,3,4,5$, y en algunos otros, así como uno de los millones que representan por $\omega=1,000,000$?
Bien, usted puede escribir $\omega$ sí mismo, pero usted también puede escribir $\omega+\omega$ o $\omega^\omega+2\omega^3+5$ o cualquier ordinal. Si $\omega$ es tan pequeño como un millón, usted podría conseguir a mal identidades como $[(1+1+1+1+1)(1+1)]^{1+1+1+1+1+1}=\omega$ pero si $\omega$ es muy grande, esas identidades desaparecer y formal de la receta usando $\omega$ es diferente.
La característica clave que hace que los números ordinales con un resumen $\omega$ vale la pena considerar es que el orden - cual de las dos expresiones $A,B$ vistos como funciones de $\omega$ es mayor - no depende de la $\omega$ si $\omega$ es realmente grande. Por lo tanto, podemos definir la ordenación $A<B$ o $A>B$ como el límite de la relación entre las evaluaciones de las funciones de $\omega$ para el cual se sustituye un número entero positivo enviado hasta el infinito.
freespace
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9024
Algunas aplicaciones accesibles de inducción transfinita podría ser el siguiente (dependiendo de lo que el público ya lo sabe):
La definición de la adición, la multiplicación (o incluso exponenciación) de los números ordinales por recursión transfinita y, a continuación, se muestran algunas de sus propiedades básicas. (Probablemente la mayoría de los reclamos de la adición y la multiplicación puede ser demostrado ser más fácil en un no-inductivo.)
$a.a=a$ es válido para cada cardenal $a\ge\aleph_0$. E. g. Cieselski: la teoría de conjuntos para el trabajo matemático, Teorema 5.2.4, p.69. Utilizando el resultado de que cualquiera de los dos cardenales son comparables, esto implica $a.b=a+b=\max\{a,b\}$. Ver, por ejemplo, aquí
La prueba de que el Axioma de Elección implica el lema de Zorn. (Esta implicación es entendible como un teorema de ZF - en todos los demás balas trabajamos en ZFC.)
La prueba del teorema de Steinitz - cada campo tiene un algebraicamente cerrado de extensión. E. g. Antoine Chambert-Loir: Una guía de campo para el álgebra, Teorema 2.3.3, la prueba se da en p.39-p.40.
Algunas construcciones interesantes subconjuntos del plano se dan en Cieselski del libro, por ejemplo, el Teorema 6.1.1 en el que un conjunto $A\subseteq\mathbb R\times\mathbb R$ está estructurada de tal forma que $A_x=\{y\in\mathbb R; (x,y)\in A\}$ es de singleton para cada una de las $x$ $A^y=\{x\in\mathbb R; (x,y)\in A\}$ es denso en $\mathbb R$ por cada $y$.
