Cómo probar esta desigualdad $\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4}\le\sqrt[4]{\frac{a(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d)}{24}}$

Question

que $a,b,c,d>0$, mostrar que $$\dfrac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4}\le\sqrt[4]{\dfrac{a(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d)}{24}} este post tres - varible $a,b,c>0,a+b+c=21$ demostrar que $a+\sqrt{ab} +\sqrt[3]{abc} \leq 28$ ¿cómo probarlo cuatro varible? Creo que uso AM-GM desigualdad para resolverlo, pero no puedo. Gracias

Supongo que este seguimiento también es verdadera:

que $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}>0$, mostrar que $$\dfrac{a_{1}+\sqrt{a_{1}a_{2}}+\sqrt[3]{a_{1}a_{2}a_{3}}+\sqrt[4]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}+\cdots+\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}{n}\le\sqrt[n]{\dfrac{a_{1}(a_{1}+a_{2})(a_{1}+a_{2}+a_{3})\cdots(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})}{n!}}

Gracias

Answer 1

\begin{align} a& \frac{a+b}2 \frac{a+b+c}3 \frac{a+b+c+d}4 \\ &= \frac1{4^4} \left(a+a+a+a \right) \left(a+a+b+b \right) \left(a+b+\tfrac{a+b+c}3+c \right) \left(a+b+c+d \right) \\ &\ge \frac1{4^4} \left(a+a+a+a \right) \left(a+a+b+b \right) \left(a+b+\sqrt[3]{abc}+c \right) \left(a+b+c+d\right) \\ &\ge \frac1{4^4} \left(a + \sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}\right)^4 \quad \text{by Holder} \end {Alinee el}

No estoy seguro si uno puede ampliar aunque el patrón general $n$. Para ello, puede que desee ver http://www.jstor.org/stable/2975630