¿Por qué es ' isomorfismo ' define de manera más general en teoría de la categoría que en álgebra abstracta?

Question

He leído en el libro de teoría de la categoría de Awodey que la definición de isomorfismo en teoría de la categoría es más general que en álgebra abstracta. Por ejemplo, dice, la definición de isomorfismo de álgebra abstracta no tiene sentido para monoids. ¿Por qué no?

Answer 1

Aviso que Awodey escribe "Por otra parte, en algunos casos sólo la abstracta definición tiene sentido, por ejemplo, en el caso de un monoid", no "en el caso de monoids".

Para Awodey, un monoid es una categoría con un objeto, y los isomorfismos son las flechas invertible, es decir, los elementos inversible de la monoid. Ya que las flechas no son realmente funciones, no tiene sentido preguntar si son biyectivas.

Answer 2

Tenga en cuenta que él hace no decir

más general que el de álgebra abstracta

sólo

... tiene la ventaja sobre otras posibles definiciones ...

Como se discute en los comentarios debajo de tu pregunta, es a menudo el caso de que a partir del álgebra abstracta a los estudiantes se les enseña que el significado de "isomorfismo" (de grupos, anillos, etc.) es "bijective homomorphism". Lo que es falso. Es una propiedad que pasa a caracterizar la isomorphisms de los objetos en particular, pero eso no significa que sea la definición. Algunos podrían argumentar que las preocupaciones pedagógicas que hacen de este un aceptable falsedad que, se espera, será corregido más tarde.

Edición: Alex Kruckman ha dado cuenta de lo que yo creo que Awodey que significó su comentario acerca de un monoid. Aunque creo que lo que me dijo a continuación todavía puede ser útil para usted, así que voy a dejar.

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Recordemos que un monoid es un conjunto $S$ con una operación binaria asociativa $\star$, para los que hay un elemento de identidad $e_S\in S$ (necesariamente único). Dadas dos monoids $(S,\,\star,\,e_S)$$(T,\,\bullet,\,e_T)$, un monoid homomorphism de $S$ $T$es una función de $f:S\to T$ tal que

• $f(s_1\mathbin{\star}s_2)=f(s_1)\mathbin{\bullet} f(s_2)$ todos los $s_1,s_2\in S$

• $f(e_S)=e_T$

Tal homomorphisms puede ser bijective; por lo tanto, existe una noción de bijective monoid homomorphism.

Answer 3

Una de morfismos de posets $f : (P,\leq) \to (Q,\leq)$ es un mapa de $f : P \to Q$$x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)$. Un bijective de morfismos de posets es una de morfismos tal que el subyacente mapa es bijective. Con el fin de ser un isomorfismo, $f$ tiene que satisfacer a los más fuertes condición de $x \leq y \Leftrightarrow f(x) \leq f(y)$. Por ejemplo, $(P,\Delta_P) \to (P,P \times P)$ es un bijective homomorphism, pero no un isomorfismo (a menos $|P| \leq 1$).

Esto es bastante similar a la categoría de espacios topológicos. Un bijective mapa continuo $f$ no tiene que ser un isomorfismo (generalmente llamado homeomorphism en esta categoría). Es un isomorfismo si el contrario a la continuidad, a saber, la apertura, también se tiene: $U$ está abierto al $f^{-1}(U)$ está abierto.

Pero para estructuras algebraicas resulta que bijective morfismos son ya isomorphisms (ya que uno puede comprobar que el inverso mapa también es compatible con las operaciones).

En general, un (olvidadizo) functor $U : C \to D$ se llama conservador si la siguiente propiedad se tiene: Si $f$ es una de morfismos en $C$ $U(f)$ es un isomorfismo, entonces $f$ es un isomorfismo. La discusión anterior proporciona ejemplos de conservadora y no conservadora olvidadizo functors.

Answer 4

Otro ejemplo: existen funciones biyectiva continua que no están homeomorphisms.