Función Zeta, $\mathbb{F}_5[T, \sqrt{T(T-1)(T+1)}]$

Question

Que $A = \mathbb{F}_5[T, \sqrt{T(T-1)(T+1)}]$. Mi pregunta es, cuál es la forma más fácil de ver que $$\zeta_A(s) = {{1 + 2 \cdot 5^{-s} + 5^{1 - 2s}}\over{1 - 5^{1 - s}}}?$ $Much gracias de antemano. ¿Tal vez sumas del Gauss y Jacobi sería útiles? ¿Curvas elípticas sobre campos finitos?

EDIT: Estamos definiendo $\zeta_A(s)$ as$$\zeta_A(s) = \prod_{m \in \text{max}(A)} {1\over{1 - \#(A/m)^{-s}}},$$for a finitely generated commutative ring $A$ over $\mathbb{Z}$. Ver aquí y aquí.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\mathrm{Spec}\, A$ es una curva dada por la ecuación de $y^2=x(x-1)(x+1)$. Es afín a parte de una curva elíptica $E$. La forma para calcular la función zeta de curva elíptica está dada por las conjeturas de Weil(en realidad, aquí tenemos un caso muy especial de lo que fue demostrado mucho antes).

Es decir, $Z_E(t)=\frac{1-at+qt^2}{(1-t)(1-qt)}$ para una curva elíptica $E/\mathbb{F}_q$ donde $a$ es un número entero. Para calcular los $a$ es suficiente para calcular el término lineal de $Z_E$. Búsqueda Simple le da $\# E(\mathbb F_5)=8$$Z_E(t)=\exp(8t+o(t))=1+8t+o(t)$.

De otro lado, $Z_E(t)=(1-at+qt^2)(1+t+\dots)(1+5t+\dots)=(1-at)(1+6t+\dots)=1+(6-a)t+\dots$$a=-2$$Z_E(t)=\frac{1+2t+5t^2}{(1-t)(1-5t)}$. El deseado zeta función de los afín a la curva de $\mathrm{Spec}\,A$ por lo tanto es igual a $\frac{1+2t+5t^2}{1-5t}=\frac{1+2\cdot5^{-s}+5^{1-2s}}{1-5^{1-s}}$.

UPD:UN error numérico es corregido gracias a Jyrki Lahtonen