Que $R$ ser un anillo local unidimensional y que $f:R[[x]][y] \rightarrow R[y][[x]]$ el mapa de la inclusión.
¿Cómo puedo mostrar que $f$ es un homomorfismo de anillo plano fielmente? ¿O me puede dar una referencia?
Gracias.
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YequalsX
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La forma habitual para mostrar que un mapa de este tipo es fielmente plano es el uso de la Artin--Rees Lema y sus corolarios, que muestran que adic terminaciones de Noetherian anillos son planos, y fielmente plano en determinadas hipótesis. Por ejemplo, la realización de una Noetherian anillo en cualquier ideal contenida en su Jacobson radical es fielmente plana.
En su caso particular, se puede comprobar que el objetivo de su inclusión $f$ es el $x$-ádico de la finalización de la fuente, y por lo que el mapa es plano.
Sin embargo, $x$ no está en el Jacobson radical de $R[[x]][y]$ (a pesar de que es en el Jacobson radical de $R[[x]]$, y también en el radical de Jacobson de $R[y][[x]]$).
E. g. deje $\mathfrak m_R$ ser el ideal maximal de a $R$, y considerar la ideal $\mathfrak m := (\mathfrak m_R, xy -1)$. El cociente $R[[x]][y]/\mathfrak m$ es igual a $(R/\mathfrak m_R)[[x]][1/x]$, que es el campo de Laurent de la serie en $x$ sobre el residuo de campo $R/\mathfrak m_R$. Por lo tanto $\mathfrak m$ es máxima, pero no contiene $x$.
Por Artin--Rees, el producto tensor de $R[y][[x]]$ $R[[x]][y]/\mathfrak m$ más de $R[[x]][y]$ es igual a la $x$-ádico de la finalización de $R[[x]][y]/\mathfrak m$, lo que se desvanece. Por lo tanto $R[y][[x]]$ es no fielmente plana por $R[[x]][y]$.
De hecho, podríamos haber mirado el ideal $I = (xy - 1)$; es decir, el producto tensor $R[y][[x]]\otimes_{R[[x]][y]} (R[[x]][y]/I)$ ya se desvanece, porque $1 - xy$ es una unidad en $R[y][[x]]$. La razón por la que me introdujo $\mathfrak m$ a todos, es sólo para mostrar de manera explícita que $x$ no está en el Jacobson radical de $R[[x]][y]$.
La intuición básica es que en $R[[x]][y]$ se le permite especializarse $y$ ser $1/x$. Pero en $R[y][[x]]$ elementos de la forma $ 1 + x y + x^2 y^2 + \cdots + x^n y^n + \cdots$ (este es precisamente el inverso de a $1 - xy$) y usted no puede sustituir a $y = 1/x$ a un elemento de una manera significativa.
