Como sabemos, el doble péndulo tiene un movimiento caótico. Pero, ¿a qué se debe esto? Es decir, la masa de los dos péndulos es la misma y tienen la misma longitud. Pero, ¿qué hace que su movimiento sea aleatorio?
Sólo soy un chico de instituto. Así que intenta que las respuestas sean comprensibles.
Caótico no es lo mismo que aleatorio. Un sistema caótico es totalmente determinista, mientras que un sistema aleatorio es totalmente no determinista. Caótico significa que unas condiciones iniciales infinitesimales conducen a divergencias arbitrariamente grandes a medida que el sistema evoluciona. Pero es imposible, en la práctica, reproducir dos veces las mismas condiciones iniciales. Con el tiempo suficiente, dos configuraciones idénticas, ajustadas a condiciones iniciales tan idénticas como sea posible, serán totalmente diferentes.
Muy bien escrito. Dependiendo del nivel de educación del OP (algunas escuelas secundarias tienen un par de años de cálculo disponibles), podría valer la pena escribir la ecuación del doble péndulo y sólo señalar lo que la fase(s) inicial(es) hace(n) a su intento de encontrar una solución.
Quizá sea mejor preguntarse por qué un péndulo simple no es caótico. Casi todos los sistemas reales son caóticos, al menos en cierta medida; el hecho de que podamos escribir la solución de un péndulo simple para todos los puntos del tiempo es realmente muy peculiar, y sólo es cierto porque se trata de un sistema muy simplificado. La razón por la que estos sistemas no caóticos son tan frecuentes en los libros de texto es porque, históricamente, nosotros, los humanos, con nuestro peculiar conjunto de herramientas matemáticas y nuestra limitada capacidad de cálculo, hemos buscado agresivamente esos sistemas idealizados.
Las cosas ideales son perfectas. Como el aire es inconsistente, basta con añadir los factores divergentes para obtener una predicción precisa. Una vez que se necesita la fórmula de un péndulo con viento cruzado (por supuesto, dependiendo de su forma exacta, que también es difícil de predecir), la gente intentará crear uno. O simplemente utilizarán un modelo con vientos superiores a los previstos.
No creo que esto responda a la pregunta subyacente, que es "qué es lo que hace que aparezca un comportamiento caótico". La idea de que algunos sistemas (y el péndulo simple no es uno de ellos) tienen un comportamiento divergente que depende de cambios infinitesimales en las condiciones de entrada es la clave aquí.
Estoy de acuerdo en que la mía no es una respuesta; pero ten en cuenta que no la he presentado como tal. Pero al contrario de lo que usted afirma, yo diría que enumerar las cualidades de un sistema caótico no ayuda mucho a explicar cómo surgen esas cualidades. Yo diría que aceptar que el "caos" es la norma es una idea clave, y que es más instructivo ponderar por qué algunos sistemas son integrables.
La respuesta fácil y barata a esto es que el péndulo doble se considera caótico porque es muy sensible a pequeñas perturbaciones en las condiciones iniciales (entre otras cosas). Mostrar esto matemáticamente puede ser difícil (ver la formulación lagrangiana para la dinámica), pero si uno mira las animaciones en el Página de Wikipedia mostrando la trayectoria del péndulo doble, la razón intuitiva de esta sensibilidad debería resultar obvia. Hay muchos puntos en la trayectoria en los que la tasa de aceleración del péndulo exterior depende en gran medida del ángulo exacto del péndulo superior cuando éste gira. Si el péndulo interior se encuentra en un lugar diferente, el péndulo exterior se mueve a una velocidad muy diferente, cambiando el grado de "acoplamiento" de los dos péndulos. A veces el efecto es atarlos juntos como si fueran una cuerda en un reloj de pie. A veces hace que estén casi perfectamente opuestos en su posición, haciendo lo suyo.
Cada vez que alcanza uno de estos estados, se vuelve muy sensible a las condiciones iniciales que lo llevaron a ese estado. Una perturbación a simple vista en el camino podría tener efectos arbitrariamente magnificados más adelante.
Desde un punto de vista matemático, el caos determinista o la dependencia sensible de las condiciones iniciales, se crea cuando hay más de 2 dimensiones o variables junto con una relación suficientemente compleja entre esas variables, como la no linealidad y/o el acoplamiento.
Hay 4 variables en un péndulo doble, dos ángulos y dos velocidades angulares. La relación matemática entre estas variables implica cuadrados (no linealidad) así como senos y cosenos (más no linealidad) de ambos ángulos en la misma ecuación (acoplamiento).
Fuente de la imagen: Strogatz, Dinámica no lineal y caos
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