¿por qué las subextensiones de las extensiones de Galois son también Galois?

Question

Una extensión algebraica de campos $L|K$ se define como un Extensión de Galois si el conjunto de elementos de $L$ invariante bajo la acción de $Aut_K L$ es $K$ .

Aparentemente en la secuencia de extensiones de campo $L|M|K$ si $L|K$ es Galois entonces $L|M$ es. Esto se afirma como una deducción obvia en la sección 3.2.1 de la tesis de Robalo Delgados sobre Categorías de Galois referenciado en nLab-Teoría de Galois de Grothendiecks No veo la obviedad...puede alguien aclararlo.

Lo que me interesa de esta caracterización es que muestra una dirección de la correspondencia de Galois, (la otra la muestra el Lemma de Artins) sin pasar por caracterizar las extensiones de Galois como extensiones algebraicas, separables y normales. De hecho, Delgado muestra que esta caracterización se desprende de su definición.

Edición: También he hecho esta pregunta en math.overflow ya que pensé que la mayoría de la gente no entendía la pregunta. Me gustaría que se intentara formularla en términos más claros.

Answer 1

Vaya a un texto sobre teoría de Galois y busque en el índice el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois. Dice que para una extensión de Galois $L|K$ existe una correspondencia uno a uno entre {subcampos entre L y K} y {subgrupos de $Aut_K L$ }, en el que un campo intermedio $M$ corresponde al subgrupo $G$ de $Aut_K L$ fijación de $M$ . La inversa de esta correspondencia toma un subgrupo $G$ y lo envía al subcampo de $K$ fijado por todos los elementos de $G$ . Dado que una extensión de Galois está definida por $K$ siendo el campo fijo de $Aut_K L$ Puedo entender que alguien llame "obvio" a un corolario evidente de un Teorema Fundamental, aunque trato de evitar el uso de esa palabra y preferiría "por la FTGT".

Answer 2

Dejemos que $L \subset K$ sea una extensión de Galois de campos. Sea $ L \subset M \subset K$ sea un campo intermedio. Entonces sabemos a priori que $L \subset M$ es separable y $M \subset K$ es Galois. El hecho de que ambas extensiones sean separables es sencillo. Para ver que $M \subset K$ es normal que $p(t) \in M[t]$ sea un polinomio irreducible que tenga una raíz $\alpha \in K$ . Sea $q(t)$ sea el polinomio mínimo de $\alpha$ en $L$ desde $L \subset K$ es una extensión normal sabemos que $q(t)$ se divide en $K[t]$ . También sabemos que $p(t)$ divide $q(t)$ en $M[t]$ . En particular, esto da que $p(t)$ se divide en $K[t]$ ya que aún debe dividir $q(t)$ en $K[t]$ . Ahora bien, cuando $L \subset M$ es una extensión de Galois es una cuestión más sutil. Para responder a esta pregunta es necesario el teorema fundamental de la teoría de Galois. Dice que $M$ es normal precisamente cuando el subgrupo de $Aut_L(K)$ fijación de $M$ es normal en $Aut_L(K)$ .

Answer 3

No es necesario reformular la pregunta. Sólo tienes que mirar la pregunta de la manera correcta y pensar en la prueba del FTGT. Dejemos que $L\supseteq K$ sean campos. Entonces $L$ es una extensión normal separable de $K$ si todo polinomio irreducible de grado $d$ en $K[X]$ que tiene una raíz en $L$ tiene $d$ raíces distintas en $L$ si se cumple la correspondencia de Galois.

El EDIT comienza aquí.

La respuesta original da aquí la equivalencia que falta. El primer iff $\implies$ se deduce que el polinomio es un producto de $d$ factores lineales en el cierre algebraico de $L$ y ninguno de ellos es múltiple por separabilidad y todos están en $L$ si uno de ellos es por normalidad. La implicación inversa $\Longleftarrow$ se deduce del Teorema de Lagrange (aproximadamente 50 años antes de Galois) que los coeficientes de un polinomio irreducible $p$ sobre cualquier campo $K$ son funciones simétricas de las raíces, y esas funciones simétricas estarán en el campo $K\subseteq L$ si el producto de todos los factores lineales de $p$ en algún cierre algebraico se encuentran en $K$ se utilizan para multiplicar hasta $p$ por lo que si una raíz de $p$ se encuentra en $L$ y hay $d$ raíces distintas, todas las raíces deben estar en $L$ (normal) y no hay raíces múltiples (separable). Ahora bien, si $K\subseteq M\subseteq L$ y $q$ es el polinomio mínimo en $M[X]$ de un elemento $\alpha\in L$ , $q$ divide el polinomio mínimo de $\alpha$ en $K[X]$ por lo que si el polinomio sobre $K$ tiene raíces distintas, por lo que $q$ en $M$ y la implicación inversa de este último iff es sólo una restricción a $K$ .

Lo que recuerdo de hace muchos años es que cuando aprendí la prueba de la FTGT tal y como se plantea en términos de normal + separable, la prueba pasó inmediatamente a la propiedad de las raíces distintas equivalentes. ¿Hay alguna otra parte de la pregunta original que me esté perdiendo?

Answer 4

@MoziburUllah No voy a responder directamente a la pregunta del OP ya que es una pregunta psicológica más que matemática. Responderé a una pregunta muy relacionada que creo que es lo que el OP desea saber, y dejaré que otros respondan a la pregunta original como consideren oportuno.

El Teorema Fundamental de la Teoría de Galois dice que si $L\supseteq K$ es una extensión normal y separable de campos, y $G$ el grupo de todos $K$ -automorfismos de de $L$ , entonces hay un $1-1$ Correspondencia de Galois tomando subgrupos $H$ de $G$ a sus campos fijos y campos $M$ con $L\supseteq M\supseteq K$ al grupo de $M$ -automorfismos de $L$ . Nuestra proposición es la inversa de este Teorema Fundamental.

Propuesta. Dejemos que $L\supseteq K$ sea una extensión algebraica de $K$ y asumir que hay un $1-1$ Correspondencia de Galois tomando subgrupos $H$ de $G$ a sus campos fijos y campos $M$ con $L\supseteq M\supseteq K$ al grupo de $M$ -automorfismos de $L$ . Entonces $L\supset K$ debe ser separable y normal.

Prueba. Si $L\supseteq K$ no es separable, entonces algún polinomio irreducible debe tener una raíz múltiple, y esto sólo puede ocurrir si ${\mathrm{char}}(K)=p<\infty$ y un poco de $\alpha\in L\setminus K$ tiene $\alpha^{p^k}$ separable sobre $K$ pero cualquier automorfismo de $L$ que arregla $K[\alpha]$ debe arreglar $\left(\bigcup_n\in p^{-n}K[\alpha]\right)\cap L$ . Por hipótesis $\left(\bigcup_n\in p^{-n}K[\alpha]\right)\cap L=K[\alpha]$ así que $L\supseteq K$ debe ser separable.

Ahora dejemos que $0\ne\alpha \in L$ y que el polinomio mínimo de $\alpha$ en $K$ sea $p(X)\in K[X]$ . Dejemos que las raíces de $p$ en algún campo de división de $p$ sea $\{\alpha\ , \alpha_1\ ,\ \cdots \ ,\ \alpha_{deg(p)}\ \}$ y por Lagrange 150 años antes de Galois, $p$ es irreducible y los coeficientes de los irreducibles mónicos $p$ son las funciones simétricas elementales de todo las raíces (distintas) de $p$ por lo que el producto $\prod_{i=1}^k \ (X-\alpha_i)$ que tiene una raíz en $L$ no puede tener coeficientes en $K$ a menos que $k=deg(p)$ así que $L\supseteq K$ es normal.

qed

Answer 5

Si se me permite remitirle a una descarga gratuita y muy fácil de leer de lo que creo que es el mejor punto de entrada a la Teoría de Galois por Andrew Baker. No sólo responderá a su pregunta, como lo hizo Barbara Osofsky más arriba, sino que muy probablemente será útil para otras preguntas de este tipo. También puedes obtener soluciones a sus bonitos conjuntos de problemas.

Puede acceder a ella aquí:

http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/notas del curso.html