Este problema resultó ser realmente muy difícil de resolver.
Dejemos que $M$ sea el $n\times(m_1+m_2)$ matriz tal que $$ M_{ij} = \begin{cases} (v_j)_i \text{ if $1\le j\le m_1$} \\ (u_{j-m_1})_i \text{ if $m_1< j\le m_1+m_2$}. \end{cases} $$ Una representación equivalente de $M$ : $$ M = \left[v_1 \cdots v_{m_1} u_1 \cdots u_{m_2} \right]. $$ Uno ve fácilmente que \begin{eqnarray} A &\equiv& \left[ I + \sum_{i=1}^{m_1} v_i v_i^T + \sum_{j=1}^{m_2} u_j u_j^T \right]^{-1} \\ &=& (I + M M^T)^{-1}. \end{eqnarray}
El problema es demostrar que una entrada en $(I+MM^T)^{-1} M$ es positivo siempre que la entrada correspondiente en $M$ es positivo.
Por el Identidad de la matriz de Woodbury , $$ (I + M M^T)^{-1} = I - M(I + M^TM)^{-1} M^T. $$ Así, \begin{eqnarray} (I + M M^T)^{-1} M &=& M - M(I + M^T M)^{-1} M^T M \\ &=& M - M (I+M^T M)^{-1} \left((I+M^T M) - I\right) \\ &=& M - M \left( I - (I+M^T M)^{-1}\right) \\ &=& M (I+M^T M)^{-1}. \end{eqnarray} De ello se deduce que la afirmación que queremos demostrar es equivalente a la afirmación de que $(I + M^T M)^{-1}M^T$ contiene una entrada positiva siempre que la entrada correspondiente de $M^T$ es positivo. Esta formulación equivalente es más fácil de demostrar, porque resulta que $I+M^T M$ es un matriz estrictamente diagonalmente dominante y podemos utilizar algunas propiedades de dichas matrices en nuestra demostración.
El cálculo directo muestra que $M^T M$ puede escribirse de la siguiente forma: $$ M^T M = \left[\begin{array}{c|c} D_v & X \\ \hline X^T & D_u \end{array}\right] $$ donde $D_v$ es $m_1\times m_1$ diagonal, $D_u$ es $m_2\times m_2$ diagonal, $X$ es $m_1\times m_2$ y \begin{eqnarray} (D_v)_{ii} &=& \#\{i: 1\le i\le n \text{ and } v_i = 1\} \\ (D_u)_{ii} &=& \#\{i: 1\le i\le n \text{ and } u_i = 1\} \\ X_{ij} &=& \#\{i: 1\le i\le n \text{ and } v_i = 1 \text{ and } u_j = 1\}. \end{eqnarray} Teniendo en cuenta estos cálculos, es fácil ver que $I+M^T M$ es estrictamente dominante en diagonal.
También es obvio que $I+M^TM$ tiene una diagonal estrictamente positiva.
Aplicaremos lo siguiente muy bueno pequeño lema, que demostramos a continuación:
Lema Supongamos que $Y$ es un $n\times n$ matriz estrictamente diagonalmente dominante con entradas diagonales positivas. Entonces $Y$ es invertible por la Teorema de Levy-Desplanques . Dejemos que $Z=Y^{-1}$ . Entonces, para todos los $i$ y $j\ne i$ , $$ Z_{jj} > |Z_{ij}|. $$
Para completar la demostración de la proposición principal, dejemos que $x$ sea una columna de $M^T$ y definir $$ A' \equiv (I + M^T M)^{-1} $$ por brevedad. Por definición, $x$ es un $0-1$ vector que contiene exactamente dos $1$ 's. Sea $i$ y $j$ sean estos dos índices, por lo que $i\ne j$ y $x_i=x_j=1$ . Observar \begin{eqnarray} \left(A'x\right)_i &=& A'_{ii} + A'_{ij} = A'_{ii} + A'_{ji} \\ \left(A'x\right)_j &=& A'_{ji} + A'_{jj} = A'_{jj} + A'_{ij}. \end{eqnarray} Por el lema y las propiedades de $I+M^T M$ demostrado anteriormente, se deduce que $(A'x)_i>0$ y $(A'x)_j>0$ , lo que completa la prueba.
Prueba del lema: Primero observamos que para cualquier matriz estrictamente diagonalmente dominante $Q$ con entradas diagonales positivas, $\det(Q)>0$ . Para ver esto, considere el mapeo $$ f(t) = \det(Q+tI) $$ para todos $t\ge 0$ . Desde $Q+tI$ es estrictamente dominante en diagonal, $f(t)\ne 0$ para todos $t\ge 0$ por Levy-Desplanques. Además, está claro $$ \lim_{t\to\infty} \det(Q + tI) = +\infty $$ Desde $f$ es continua, $f(0) = \det(Q)>0$ .
En aras de la brevedad, dejemos que $m=m_1+m_2$ . Podemos calcular $Z_{11}$ y $Z_{21}$ por la regla de Cramer: \begin{eqnarray} Z_{11} &=& \frac{\det(Y_{2:m;2:m})}{\det(Y)} \\ Z_{21} &=& -\frac{\det(Y_{2:m;1,3:m})}{\det(Y)}. \end{eqnarray} Defina las dos matrices siguientes: \begin{eqnarray} M_+ &=& \left[\begin{array}{c|c} Y_{2:m;2} + Y_{2:m;1} & Y_{2:m;3:m}\end{array} \ right] \ ~ - M_- &=& \ ~ \ ~ - izquierda[] \ ~ - \ ~ M_- &=& \left[ \begin{array}{c|c} Y_{2:m;2} - Y_{2:m;1} & Y_{2:m;3:m}\end{array} \[derecha]. \N - Fin. Por las propiedades básicas de los determinantes y los cálculos de la regla de Cramer anteriores, \begin{eqnarray} Z_{11} - Z_{21} &=& \frac{\det(Y_{2:m;2:m}) + \det(Y_{2:m;1,3:m})}{\det(Y)} \\ &=& \frac{\det(M_+)}{\det(Y)} \end{eqnarray} y \begin{eqnarray} Z_{11} + Z_{21} &=& \frac{\det(Y_{2:m;2:m}) - \det(Y_{2:m;1,3:m})}{\det(Y)} \\ &=& \frac{\det(M_-)}{\det(Y)}. \end{eqnarray} Por definición, es fácil ver $M_+$ , $M_-$ y $Y$ son todas matrices estrictamente diagonales dominantes con diagonal positiva, por lo que todas tienen determinante positivo. De ello se deduce que $Z_{11} + Z_{21}$ y $Z_{11} - Z_{21}$ son ambos positivos, por lo que $Z_{11} > |Z_{21}|$ .
Hemos demostrado $Z_{11} > |Z_{21}|$ . Reetiquetando los vértices, es fácil ver que $Z_{jj} > |Z_{ij}|$ para todos $i$ y $j$ . Esto demuestra el lema.
