Sólo una rápida puntero: usted probablemente podría salirse con la saltarse a los 2 últimos párrafos, como el resto cubre mi motivación para responder a esta pregunta.
A través de este próximas fiestas estoy esperando para pasar un poco de tiempo a la lectura a través de Spivak del Cálculo, y responder a algunas de las más difíciles/interesante mirar las preguntas. Mientras he aprendido la mayoría de los materiales antes, el cálculo de los cursos en el primer año de mi Uni enseñaron todo, principalmente para los ingenieros, y siento que tengo una muy 'handwavy la comprensión de las ideas como la de la continuidad, las sumas de Riemann, etc., etc.
De todos modos, me encontré con esta pregunta en el capítulo 2 del libro de anoche:
Probar que:
$$\sum_{k=0}^{l} \binom{n}{k}\binom{m}{l-k}=\binom{n+m}{l} $$
Spivak recomendado teniendo en cuenta el binomio de expansión de $(1+x)^a(1+x)^b$ y después de un minuto o así vi la 'razón' ¿por qué esta afirmación es cierta. Brevemente, debemos considerar el coeficiente de $x^l$ en el binomio de expansión se sugirió anteriormente. Expandiéndose hacia fuera, $(1+x)^{n+m}$ con el teorema del binomio da el coeficiente de $\binom{n+m}{l}$, el lado derecho de la expresión anterior. Por otro lado, si queremos expandir $(1+x)^n$ $(1+x)^m$ por separado y multiplicar juntos, vamos a tener que sumar todos los diferentes cruz-multiplicaciones que dan un l-esima fin de plazo: no hay $\binom{n}{0}x^0\times \binom{m}{l}x^l$,$\binom{n}{1}x^1\times \binom{m}{l-1}x^{l-1}$, etc. Y si añadimos estos podemos obtener la expresión en el lado izquierdo de la igualdad anterior. Estos 2 expresiones para el coeficiente de $x^l$ debe ser igual, por lo tanto, la igualdad anterior debe contener.
Q. E. D.
Hecho.
Fresco.
Sin embargo, todavía estoy muy incómodo con el abandono de la pregunta con sólo esta respuesta. La única razón por la que estoy leyendo a través de Spivak es tratar de aprender algo de rigor matemático, y sin embargo, aunque estoy seguro de que este argumento es válido, tengo la sensación de que muchos analistas desea un poco más... ummm...algo :)
Y este donde estoy atascado. En un extremo de la escala, se podría esperar que en todas las pruebas para ser enteramente basada en axiomas o teoremas demostrados anteriormente - Euclides estilo. En el otro extremo tenemos argumentos como este de arriba, o como el de Newton intuitionistic vista de un límite. Mi pregunta es simplemente 'cuando debería estar convencido de que una prueba es una prueba?' Cuánto rigor es suficiente? De hecho, ¿cuánto rigor se utiliza en las pruebas de profesional en matemáticas (yo había entendido que es bastante dependiente del campo)?
Muchas gracias por tus pensamientos
