¿Cuáles son algunos ejemplos de hechos matemáticos de la que había sido una vez abierta problemas para una cantidad significativa de tiempo y pensamiento duro o sin solución por métodos contemporáneos, pero que luego fueron inesperadamente resuelto gracias a algunos fuera-de-la-caja de destello de genio, y la prueba es realmente corto (digamos, de una página, o así), y usa la matemática elemental sólo?
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zz20s
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La integral de $\sec x$ perplejo matemáticos, en los mediados del siglo xvii por un buen rato hasta que, en un destello de comprensión, Isaac Barrow demostró que puede hacer lo siguiente:
$$\int \sec x \,\mathrm{d}x= \int \frac{1}{\cos x} \, \mathrm{d}x=\int \frac{ \cos x}{\cos^2 x} \, \mathrm{d}x=\int \frac{ \cos x}{1-\sin^2 x} \, \mathrm{d}x.$$
El uso de $u$-sustitución y dejar que $u=\sin x$, la integral se transforma en
$$\int \frac{1}{1-u^2} \, \mathrm{d}u,$$
que es fácilmente evaluados por fracciones parciales.
Mathmo123
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Teorema: trascendental de números que existen y hay (uncountably) infinitamente muchos de ellos.
La existencia de trascendental números se había conjeturado por más de 100 años antes de Liouville construido uno en 1844. Otros números como $e$, se mostró a ser trascendental, uno por uno. Cantor fue capaz de demostrar su existencia con facilidad:
La prueba: los números algebraicos son contables y los números reales son innumerables.
Baloown
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El $\mathcal{AKS}$ (Agrawal, Kayal, Saxena) algoritmo, lo que demuestra que se puede responder si un número es primo o no en el polinomio de tiempo. Se ha encontrado en el 2003 y se dijo "alcanzable por el hombre ordinario" en razón de los antecedentes se tiene que ser entendido. Más info aquí (wiki) y aquí (en el papel).
IBr
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No es completamente elemental, pero Abel prueba de Abel-Ruffini teorema es bastante corto, de 6 páginas, y con un poco de introducción se entiende por alguien sin un grado en matemáticas.
El de Abel-Ruffini teorema se había abierto durante más de doscientos años y fue uno de los problemas centrales en las matemáticas de la época, similar a la Hipótesis de Riemann ahora. Para el grado 2, una fórmula había sido conocida por 4000 años. (desde el año 2000 antes de cristo era conocido por los Babilonios) De grado 3 y 4, las fórmulas que se había descubierto de 200 años antes. La búsqueda de una fórmula de grado 5 había sido durante mucho tiempo en el progreso.
El de Abel-Ruffini teorema afirma que no existe una solución general en radicales a un grado 5 o superior ecuación polinómica.
Wojowu
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