La constante en la Sobolev traza teorema de la desigualdad

Question

La traza teorema de la amabilidad de los dominios de los estados que no hay un operador $T:H^1(\Omega) \to L^2(\partial \Omega)$ tal que $$|Tu|_{L^2(\partial \Omega)} \leq C|u|_{H^1}.$$

Mi pregunta es, hay una expresión para la constante de $C$? Quiero ver exactamente cómo se depende del dominio de $\Omega.$ Esto es porque quiero ver cómo la constante varía (por ejemplo. continuamente) si me variar el dominio.

Answer 1

Esa estimación se puede encontrar en Grisvard "Elíptica problemas en nonsmooth dominios", Teorema de 1.5.1.10.

Básicamente dice $$ \delta \|u\|_{L^2(\partial\Omega)}^2 \le \|\mu\|_{C^1(\bar\Omega)} \left(\epsilon^{1/2}\|\nabla u\|_{L^2(\Omega)}^2 + (1+\epsilon^{-1/2}) \|r\|_{L^2(\Omega)}^2 \right) $$ para todos $\epsilon\in(0,1)$, $u\in H^1(\Omega)$. El campo de vectores $\mu$ ha de ser elegidos para ser $C^1(\bar\Omega,\mathbb R^n)$ tal que $$ \mu \cdot \nu \ge \delta $$ on $\partial \Omega$ with $\nu$ el vector normal exterior.

Esto podría dar una estimación de la constante por un determinado dominio, al menos. Debe ayudar a probar la continuidad con respecto al dominio de variaciones.