Receta para el cómputo de los vértices de los factores en los diagramas de Feynman

Question

Actualmente estoy estudiando la teoría del campo cuántico de Srednicki. En clase hemos cubierto hasta el capítulo 14 y, a continuación, saltar para IR divergencias. Así que mi conocimiento de la teoría cuántica de campos se limita a esas secciones. Acabo de mencionar que en caso de que ayuda a ustedes para calibrar sus respuestas a mi nivel! De todos modos, mi pregunta está relacionada con la determinación de vértice factores para cualquier interacción. Nos presentaron a los vértices de los factores en el capítulo 9. Para interactuar teorías, tales como: $$\mathcal{L}_I = \frac{g}{3!}\varphi^3$$ and $$\mathcal{L}_I = \frac{\lambda}{4!}\varphi^4$$ the vertex factors are $ig$ and $i\lambda$ respectivamente. Ignorar el signo; nunca puedo recordar. También, para esta discusión, es que probablemente no será un gran problema. De todos modos, volviendo al punto principal, sólo recuerdo que se dijo que el vértice factores son los que aparecen arriba, pero nunca nadie me dijo cómo fueron obtenidos. Srednicki nunca formalmente definido. Yo supuse que usted acaba de leer en el coeficiente de la interacción de parte. También, físicamente tengo la intuición de que el vértice factor. Representa la fuerza con la que las interacciones par de campos libres. Y cuando usted calcular los diagramas de Feynman más interacciones significa mayores poderes de este parámetro de acoplamiento (o vértice factor).

En algunos capítulos posteriores Srednicki definido este vértice de la función $V_n(k_1,k_2,\dots,k_n)$; pero él sólo formalmente habla sobre ello en el contexto de vértice correcciones. Por el momento no estoy interesado en las correcciones. Sólo quiero saber cómo se puede calcular esta función para cualquier teoría (digo): $$\mathcal{L}_I = f_n(\varphi,\partial_\mu \varphi)$$ where the subscript $n$ the maximum number of fields and/or their derivatives defined in the function $f_n(\varphi,\partial_\mu \varphi)$. En general el vértice factor no va a ser sólo una constante al igual que los dos casos anteriores. Esto será en función de los entrantes y salientes de cuatro ímpetus. Qué receta debo seguir para conseguir que la expresión?

Answer 1

He aquí un truco que siempre uso: Supongamos que tenemos una interacción de Lagrange dada por $$ \mathcal{L}_{int} = \frac{\kappa}{3!}\phi^3. $$ El truco es volver a escribir $$ \mathrm{i}\times \text{interacción acción} $$ en el impulso del espacio mediante la introducción de la descomposición de Fourier de los campos como sigue:
$$ \begin{aligned} \mathrm{i}S_{int} &= \mathrm{i}\int\mathrm{d}^4x\, \mathcal{L}_{int} = \mathrm{i} \int\! \mathrm{d}^4x\, \frac{\kappa}{3!} [\phi(x)]^3 \\ &= \mathrm{i} \int\! \mathrm{d}^4x\, \frac{\kappa}{3!} \\ &\hspace{5mm}\times \int\! \frac{\mathrm{d}^4q_1}{(2\pi)^4}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}q_1\cdot x} \widetilde{\phi}(q_1) \int\! \frac{\mathrm{d}^4q_2}{(2\pi)^4}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}q_2\cdot x} \widetilde{\phi}(q_2) \int\! \frac{\mathrm{d}^4q_3}{(2\pi)^4}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}q_3\cdot x} \widetilde{\phi}(q_3) \\ &=\int\!\frac{\mathrm{d}^4q_1\cdots\mathrm{d}^4q_3}{(2\pi\cdots2\pi)^4}\, (2\pi)^4 \delta^{(4)}(q_1+\cdots+q_3)\widetilde{\phi}(q_1)\widetilde{\phi}(q_2)\widetilde{\phi}(q_3)\times\frac{\mathrm{i} \kappa}{3!}. \end{aligned} $$ Así, podemos leer en el vértice del factor: $$\mathrm{i} \kappa / 3!$$ No te olvides de multiplicar por $3!$ que es el factor de simetría del diagrama. En el extremo usted simplemente se quedan con $$\mathrm{i}\kappa.$$

Aviso en el que por encima de los signos negativos en todos los exponenciales, esto significa que estamos tomando todas las momenta como entrante con respecto al vértice. Es decir, si se dibuja el diagrama debe dibujar momento flechas apuntando hacia el vértice: $q_1+q_2+q_3 = 0. $

Otro ejemplo sería: $$\mathcal{L}_{int}:=g\bar{\psi}\gamma_{\mu}\gamma_{5}(\partial^\mu\phi)\psi,$$ where $g$ is a coupling constant and $\phi$ un escalar. El resultado vértice factor es (se puede demostrar esto aquí?): $$V=g(\not{q}_2\gamma_5)_{jk},$$ where $q_2$ is the incoming momentum of $\phi$. $----------------------------------------$ Por CIERTO: alguien sabe de un mejor barra de"\"?

Answer 2

El $n$-punto de vértice se define como el 1PI $n$-función de punto con líneas externas amputada. Tan sólo necesita para calcular esta función de correlación y olvidarse de las líneas externas.

Vamos a ver cómo funciona esto en el $\lambda\phi^n/n!$ interacción en el árbol de nivel. Tenemos \begin{align*} \langle \prod_{i=1}^{n}\phi(k_i)\rangle=i\lambda \prod_{i=1}^{n}\langle \phi(k_i)\phi(-k_i)\rangle(2\pi)^d\delta^d(\sum_i k_i), \end{align*} y amputación de los propagadores de hecho, da su respuesta $i\lambda$.

Answer 3

En general el vértice factor no va a ser sólo una constante al igual que los dos casos anteriores. Esto será en función de los entrantes y salientes de cuatro ímpetus.

Eso no es cierto. En general, el vértice de la función está dada por su impulso dependiente de las correcciones de una constante vértice factor. Para ejemplos, ver eq. 51.38 (la teoría de Yukawa); un 62,39 (QED) o 65.27 (escalar QED) en Srednicki.