es $T:C[0,1]\rightarrow C[0,1]$ : $x(t)\mapsto x(t^2)$ ¿compacto?

Question

Es $T$ ¿un operador compacto?

$T:C[0,1]\rightarrow C[0,1]$ : $x(t)\mapsto x(t^2)$ donde $t\in[0,1]$

con norma de supremacía.

Answer 1

En primer lugar, una observación general. Una forma común de demostrar que algún operador $T$ no es compacto es exhibir un subespacio de dimensión infinita $M$ en el que $T$ tiene un límite inferior es decir, existe $c>0$ tal que $$\|Tx\|\ge c\|x\|,\quad \forall\ x\in M \tag{1}$$ Si (1) se cumple, entonces la imagen de la bola unitaria bajo $T$ contiene una bola de radio $c$ en el subespacio de dimensión infinita $TM$ y, por lo tanto, no es compacto.

Teniendo en cuenta lo anterior, debería preguntarse: ¿para qué funciones $x$ puedo demostrar una desigualdad de la forma $\|Tx\|\ge c\|x\|$ ? Mirando lo que $T$ hace, y recordando la definición de la norma, se dará cuenta de que $\|Tx\| = \|x\|$ es válida para todos los $x\in C[0,1]$ . Por lo tanto, $T$ no es compacto.

Answer 2

El mismo enfoque que las respuestas anteriores, utilizando operadores limitados:

Si $T\colon X \to X$ es un operador compacto y $S \colon X \to X$ es un operador acotado, entonces tanto $TS$ y $ST$ son compactos.

Dejemos que $S: C^1[0,1] \to C^1[0,1]$ tal que $u(t) \mapsto u(\sqrt{t})$ . Enseguida vemos que $\|S\| = 1$ Así que $S$ está acotado. Pero $TS = Id$ . Si $T$ es compacto por lo que es $Id$ pero como $C^1[0,1]$ es de dimensión infinita, $Id$ no puede ser compacta y por lo tanto $T$ no es compacto.

Answer 3

He aquí una respuesta mucho menos intuitiva.

Nota : Lamentablemente, esto no era tan sencillo como había pensado en un principio (gracias a Davide por detectar mi descuido). El resultado depende del hecho de que $C[0,1]$ tiene la "propiedad de aproximación", es decir, cualquier operador compacto es el límite (en la norma del operador) de una secuencia de operadores de rango finito. (Véase la observación 1.1.15 en "An Introduction to Nonlinear Analysis: Applications", Vol. 2, Z. Denkowski, S. Migórski, N. S. Papageorgiou).

Tenga en cuenta que $\|Tx\|= \|x\|$ para todos $x$ .

Supongamos que $A$ es un operador de rango finito, entonces $\ker A $ no es trivial (considere el efecto de $A$ en $t \mapsto t^n$ por ejemplo).

Elija $x \in \ker A$ de norma unitaria, entonces $\|(T-A)x\| = \|Tx\| = \|x\| = 1$ y así $\|T-A\| \ge 1$ Por lo tanto $T$ no pueden ser aproximados por operadores de rango finito. De ello se deduce que $T$ no es compacto.

Answer 4

He aquí el comentario de Daniel Fischer en términos más explícitos: cualquier operador compacto sobre un espacio de Banach de dimensión infinita (por ejemplo $C([0,1])$ ) no puede ser invertible. Sin embargo, el mapa $x(t)\mapsto x(\sqrt{t})$ es el mapa inverso para $T$ así que $T$ no puede ser compacto.

Answer 5

Un enfoque ligeramente diferente:

Supongamos por el contrario que $T$ es compacto. Claramente $\|T\|=1$ De hecho $\|T^n\|=1,$ por lo que el radio espectral es igual a 1. Dado que el espacio ambiental es de dimensión infinita, existe una secuencia de valores propios que convergen a cero. $\lambda$ con $|\lambda|<1$ y $g\in C[0,1]$ tal que

$Tg=\lambda g\Rightarrow g(x^2)=\lambda g(x)\,\forall x\in[0,1]\Rightarrow $ $\|g\|=|\lambda|.\|g\|<\|g\|$ que es una contradicción.