probabilística de la teoría de nudos

Question

Tomar una suave curva cerrada en el plano. En cada intersección, elegir al azar una de las dos piezas y levante que acaba de salir del avión. (Perturbar la curva por lo que no hay el triple de las intersecciones.) Realmente no sé nada sobre el nudo de la teoría, así que ni siquiera sé si estoy haciendo las preguntas correctas aquí, pero me pregunto: ¿Cuál es la probabilidad de que este es el nudo trivial? ¿Qué podemos decir acerca de cómo se anuda este nudo puede ser, y con lo que las probabilidades? (Medida "knottedness" en cualquier forma que te gusta.) De manera más general, podemos decir nada sobre la probabilidad de los distintos valores posibles en la habitual invariantes que la gente usa para el estudio de los nudos?

Sólo tengo una idea de cómo acercarse a la primera pregunta, e incluso entonces es sólo por la fuerza bruta. Yo estaba simplemente jugando con el más sencillo de los casos, y creo que con 0, 1, o 2 intersecciones, todos los nudos son triviales, y con 3 intersecciones con el nudo es trivial con una probabilidad de 75%.

Un análisis general debería supuestamente implican calcular la probabilidad de que podemos simplificar el uso de los diversos movimientos de Reidemeister, pero no sé cómo incorporar este. Me imagino que un ordenador podía fuerza bruta de los primeros casos con bastante facilidad (yo no soy tan osado como para aventurarse a un orden de magnitud de adivinar si se trata de los primeros cien o el primer par de millones de dólares)...

Answer 1

El modelo que proponemos para el azar nudos, obviamente, depende de la curva que dibuja inicialmente, así que no estoy seguro de que este es el más natural de modelo a considerar. La gente, sin duda, han observado diferentes distribuciones de probabilidad de (diversas clases de) nudos (o nudo de proyecciones). Uno de los problemas inmediatos, es que solo haciendo las simulaciones por ordenador es difícil, ya que la determinación del tipo de nudo o simplemente unkottedness de un determinado nudo diagrama es altamente no trivial.

Un papel que se hace con los Invariantes de Vassiliev (una cierta clase importante de polinomio como invariantes de nudos) aparece en el volumen "al Azar Nudos y la Vinculación", editado por Millett y Summers (mira el papel por Deguchi y Tsurusaki). Otros artículos de este volumen pueden ser de su interés, también.

Al mejor de mi conocimiento, no hay realmente un modelo de azar nudos para que la pregunta "¿cuál es la probabilidad de que el nudo es trivial" se conoce la respuesta, a excepción de que el número de cruce tiende a infinito, esta probabilidad probabilidad se aproxima a 0 (como cualquier persona que ha dejado un conjunto de móvil de los auriculares en el bolsillo durante más de cinco minutos lo sabe).

Answer 2

Sospecho que la respuesta a esta pregunta, sería muy difícil. Una más pregunta razonable sería la de tratar de entender la distribución de los distintos numérico nudo invariantes. Yo no conozco a ninguna de las referencias de la mano, pero sé que he escuchado conversaciones sobre el tema.

Si quieres probar a hacer conjeturas acerca de este tipo de cosas, entonces le recomiendo Livingston de la tabla de nudo invariantes, que contiene una increíble cantidad de datos.

Answer 3

La gente que estudia la topología del DNA uso de diversos modelos de azar nudos. La mayoría de ellos tienen algún geométrica de entrada como el ADN tiene una longitud real y no quiere que agacharse demasiado.

Answer 4

Una ruta posible a un modelo de azar nudos sería a través de la trenza de grupo. Cada nudo puede ser expresa (no de forma exclusiva) como el cierre de una trenza. Así, por ejemplo, se podría aplicar la trenza generadores uniformemente $$ n de veces a través de $k$ hebras, cerca de la trenza uso de su favorito de cierre y, a continuación, haga esta pregunta sensatez. No creo que usted puede preguntar directamente acerca de la $n \to \infty$ límite para la trenza de grupo, sin embargo, porque creo que no existe una noción uniforme de medida para ese grupo. En realidad, tal vez voy a publicar esto como una cuestión separada, pero es la trenza grupo susceptible? Yo apostaría a que en este modelo, la probabilidad de tener la unknot disminuye muy rápidamente con $n$ y $k$.

Para probar si usted tiene el unknot, se cree que usted sólo tendrá que comprobar que el polinomio de Jones. Pero incluso esto es todavía difícil en general, a menos que , incluso si usted tiene un ordenador cuántico. :)

(Edit: Gracias Greg Kuperberg, a continuación, para la corrección.)

Answer 5

Usted debe buscar en el Nudo de Atlas, que contiene una gran cantidad de tabulados nudo invariantes, aunque a menudo no en forma conveniente como Livingston del sitio.

En realidad, sin embargo, usted desea descargar el KnotTheory` paquete (que presupone usted tiene acceso a Mathematica), disponible en el Nudo del Atlas. Con un poco de tocar el violín, se puede ejecutar fácilmente experimentos del tipo que usted describe. Se puede calcular muchos de los invariantes de la presentación de un nudo.

Lo mejor de todo, usted debe ir y pensar "físicamente realista" modelos de azar nudos, y, a continuación, intente implementar un modelo de uso de uno de los muchos nudo notaciones de la KnotTheory` paquete entiende. Hay algunos buenos artículos escritos sobre este tema, e incluso algunos de la vida real de los experimentos con cadenas en los cuadros de ser sacudido de arriba abajo! :-)