Supuestos en la categoría C para sheafification de C con valores de presheaves

Question

Para cualquier categoría C y espacio topológico X tenemos la noción de un C con valores de presheaf en X.

¿Qué supuestos debe realizarse sobre una C con el fin de que tenemos la noción de un presheaf ser un 'gavilla'? Entiendo que la definición de la gavilla de las propiedades de uso de un ecualizador diagrama que asume que C tiene los productos y el objeto final. Es esta definición de "estándar"?

En segundo lugar, la definición de un sheafification de un presheaf en términos de lo obvio universal de la propiedad tiene sentido para cualquier categoría C (para la cual la noción de gavilla tiene sentido). Pero, ¿qué supuestos debe ser colocado en C para que la sheafification a existir? Para presheafs de conjuntos sé la construcción a través de la étale espacio de la presheaf (es decir, la sheafification puede ser construido como la gavilla de las secciones de la proyección de E->X de la etale espacio E en X). Esta construcción de obras en general, derecho?

Answer 1

Un presheaf $F$ con valores en $C$ es un llamado a una gavilla si, para cada objeto de $X$ y cubriendo cada tamiz $R$$X$, el natural mapas

$F(X) \rightarrow F(Y)$

para cada Y en R induce un isomorfismo

$F(X) \xrightarrow{\sim} \varprojlim_{Y \in R} F(Y)$

Esta definición tiene sentido sin los supuestos en $C$.

El sheafification construcción hace uso de filtrado colimits y arbitraria de los límites (si usted está interesado en gavillas en una topología particular, entonces usted podría ser capaz de restringir la clase de los límites que deben tenerse en cuenta). Es definido por recorrer en la construcción

$F^+(X) = \varinjlim_{R} \varprojlim_{Y \in R} F(Y)$

donde el $\varinjlim$ es asumido que cubre los tamices de $X$. Si $F$ es el conjunto de valores, la asociada a la gavilla de $F$$F^{++}$.

Yo no sé en qué condiciones en $C$ son necesarios para realizar la sheafification de un presheaf en $C$ una gavilla, pero yo no esperaría que la construcción se comportan muy bien, al menos $C$ es bastante una categoría especial.

(Categorías de estructuras algebraicas en conjuntos definidos por el inverso de límites de calificar como "especial", básicamente porque filtrada colimits conmuta con finito inversa límites.)

Answer 2

Para responder a la primera pregunta siempre que uno tiene, como usted dice, (pequeño) los productos y los ecualizadores de la noción de gavilla tiene sentido como uno tiene el derecho diagrama correspondiente a cualquier cubierta. Pero solo podemos decir que $C$ es completa, ya que una categoría se completa el fib tiene todos los productos y ecualizadores.

Para el sheafification existir es suficiente con que $C$ también se cocomplete de modo que uno puede tomar colimits más adecuado categorías de cobertura de los tamices. Esto viene en la construcción usualmente denotado por $(-)^+$ que se aplica dos veces a una presheaf resultados en una gavilla.

Answer 3

Para responder a su última pregunta, "Esta construcción de obras en general, ¿verdad?" la respuesta es no. El espace etale construcción de sheafification depende en gran medida de la existencia de "elementos" en los objetos de la categoría C (debido a que sus tallos son definidos a través de los gérmenes que se definen a través de clases de equivalencia de los elementos), así que, básicamente, sólo funciona para categorías concretas, y sólo ciertas categorías concretas en que.

Para más general de la construcción de sheafification, ver las otras respuestas.

Answer 4

Hay también en este documento, Gris: Categoría de valores de poleas, BAMS 68, (1962),

http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.bams/1183524852&page=record

que se aborda la cuestión.

Answer 5

Vamos PS(X,B) denota la categoría de presheaves en la categoría con valores en la categoría B. se denota por Sh((X,SX),B) la categoría de poleas en el topos (CX,SX)(CX es la categoría que representa a X y SX es pretopology). La asunción de la categoría B es que

B se ha filtrado colimits que conmutan con los núcleos de los pares de flechas. Vamos HX denotar la endofunctor de PS(X,B) que asigna a cada presheaf F: CX^op--->B de la presheaf HX(F) se define por HX(F)(N)=colim(Ker(F(M)-->-->F(M producto M sobre N))),donde N y M son objetos de CX donde colimit se toma más de Cov(N,t):(Portada de M, t es determinado por SX se mencionó anteriormente). Podemos comprobar fácilmente que Cov(N,t) es un filtrado de la categoría. Así que el colimits necesitamos es filtrada colimits.

También podemos comprobar fácilmente que F(N)--->HX(F)(N) es un functor para cada N pertenece a ObCX

es decir, se define un functor de morfismos F|--->HX(F)

Este functor HX se llama Heller functor. Es de rutina para comprobar HX es la izquierda exacta. con la siguiente propiedad 1 Functor HX mapas de cualquier presheaf a monopresheaf y mapas de cualquier monopresheaf a la gavilla. Así sheafification functor es sólo HX componer HX.