La media de las raíces de un polinomio es igual a la media de las raíces de su derivada

Question

Antecedentes : Es sencillo comprobar que la media de las raíces de un polinomio no lineal es igual a la media de las raíces de su derivada: si

$$f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots a_0$$

entonces las raíces de $f(x)$ contando las multiplicidades, suman $- a_{n-1}$ mientras que las raíces de

$$f'(x) = n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_1$$

suma a

$$\frac{- (n-1) a_{n-1}}{n},$$

para que ambas medias sean iguales a $- a_{n-1}/n,$ y la multiplicación para obtener un polinomio no mónico obviamente no afecta a esto.

Pregunta: ¿Cuál es la primera referencia conocida a este hecho en particular por escrito? (Los más antiguos que he encontrado sólo tienen 10 o 20 años de antigüedad, así que incluso si algo no se sabe que es el más antiguo es útil siempre y cuando sea más antiguo que todo lo publicado aquí).

Pregunta extra : ¿Hay referencias al hecho de que el $(n-1)$ -¿el coeficiente de un polinomio mónico es la suma de sus raíces, precediendo significativamente la caracterización de Viete de los coeficientes de un polinomio en términos de sus raíces?

Motivación : un estudiante de cálculo que redescubrió y demostró este hecho preguntó en los comentarios aquí:

http://www.reddit.com/r/math/comments/1uqaiv/getting_credit_for_original_work/

Answer 1

Yo comprobaría si esto (es decir, que la suma de las raíces sea $a_{n-1}$ hasta firmar) está en Simon Stevin (1548 - 1620). Se le atribuyen algunos logros notables, entre ellos la demostración del teorema del valor intermedio en el contexto de un determinado polinomio de tercer grado, como se comenta en este artículo . Esto es tanto más notable cuanto que no disponía de ninguna notación simbólica, sino que lo expresaba todo en términos de proporciones, a veces de forma artificial. Es posible que conociera algunos de los hechos elementales de los polinomios de bajo grado.