¿Por qué es esto cierto? $(\exists x)(P(x) \Rightarrow (\forall y) P(y))$

Question

¿Por qué es esto cierto?

$(\exists x)(P(x) \Rightarrow (\forall y) P(y))$

Answer 1

Ya que esto puede ser una tarea, no quiero ofrecer toda la prueba formal, pero voy a compartir en el sector informal de la justificación. Clásicos de la lógica de primer orden normalmente se hace la suposición de existencial de importación (es decir, que el dominio de discurso es no-vacío). En la lógica clásica, el principio del medio excluido sostiene, es decir, que para todo $\phi$, $\phi$ o $\lnot\phi$ sostiene. Desde que me encontró por primera vez este tipo de oración donde $P(x)$ fue interpretado como "$x$ es un pájaro," voy a utilizar que en el siguiente argumento. Por último, recordar que un material condicional $\phi \a \psi$ es verdadera si y sólo si $\phi$ es falso o $\psi$ es cierto.

Por medio excluido, es bien cierto que todo es un pájaro, o de que no todo es un pájaro. Vamos a considerar estos casos:

• Si todo es un pájaro, a continuación, elegir un arbitrario individuales de $x$, y se nota que el condicional "si $x$ es un pájaro, entonces todo es un pájaro," es cierto, ya que el consecuente es verdadero. Por lo tanto, si todo es un pájaro, entonces hay algo que si es un pájaro, entonces todo es un pájaro.
• Si no es el caso de que todo es un pájaro, entonces debe haber algo de $x$, que no es un pájaro. A continuación, considere el condicional "si $x$ es un pájaro, entonces todo es un pájaro". Es cierto debido a su antecedente, "$x$ es un pájaro," es falsa. Por lo tanto, si no es el caso de que todo es un pájaro, entonces hay algo (un no-pájaro, de hecho), de tal forma que si es un pájaro, entonces todo es un pájaro.

Puesto que ocupa en cada uno de los exhaustiva de los casos de que no es algo tal que si es un pájaro, entonces todo es un pájaro, llegamos a la conclusión de que no es, de hecho, algo que si es un pájaro, entonces todo es un pájaro.

Alternativas

Ya que preguntas sobre el dominio de vino arriba en los comentarios, parece que merece la pena considerar las tres condiciones previas a este argumento: existencial de importación (el dominio es no-vacío); medio excluido ($\phi \lor \lnot\phi$); y el material condicional ($(\phi \a \psi) \equiv (\lnot\phi \lor \psi)$). Cada uno de estos puede ser cambiado en una forma en que puede afectar el argumento. Este podría no ser el lugar para examinar cómo cada uno de estos afecta el argumento, pero al menos podemos dar punteros a los recursos acerca de las alternativas.

• Existencial de importación afirma que el universo de discurso es no vacío. Libre de la lógica relajar esta restricción. Si el universo de discurso estaban vacías, parece que $\exists x.(P(x) \a \forall y.P(y))$ debe ser vacuously falso.
• Intuitionistic lógicas no suponga que el medio excluido, en general. El argumento anterior se inició con una denuncia de la forma "$\phi$ o $\lnot\phi$."
• Hay un montón de dificultades filosóficas con el condicional material, especialmente en lo utiliza para representar "si..., entonces ..." frases en lenguaje natural. Si tomamos el condicional para ser una hipótesis, por ejemplo, y así estaban pensando en la frase "no es algo tal que si fuera un pájaro (incluso si no es en realidad un pájaro), entonces todo podría ser un pájaro," parece que ya no debe ser comprobable.

Answer 2

Sugerencia: La única manera de que $A\implica B$ a ser falso, es de $Un$ para ser verdad y $B$ a es falso.

No creo que esto es realmente cierto, a menos que usted sabe que su dominio no está vacía. Si su dominio está vacía, entonces $\forall y: P(y)$ es cierto "vacuously," pero $\exists x: Q$ no es cierto para cualquier $P$.

Answer 3

Aquí es un enfoque diferente: esto puede ser bastante-de forma directa demostrado desde la simple álgebra de boole, a partir de una tautología. $$ ((\forall y)P(y)) \lor (\lnot (\forall x) P(x)) \\ ((\forall y)P(y)) \lor ((\exists x)\lnot P(x))\\ (\text{nada} \Rightarrow (\forall y)P(y)) \lor ((\exists x)(P(x) \Rightarrow \text{nada})) \\ ((\forall x)(P(x) \Rightarrow (\forall y)P(y))) \lor ((\exists x)(P(x) \Rightarrow (\forall y)P(y))) \\ ((\exists x)(P(x) \Rightarrow (\forall y)P(y))) \lor ((\exists x)(P(x) \Rightarrow (\forall y)P(y))) \\ (\exists x)(P(x) \Rightarrow (\forall y)P(y)) $$

Answer 4

En la lógica clásica la siguiente equivalencia es lógicamente válido: $$ \exists x (\varphi\Rightarrow\psi)\Longleftrightarrow(\forall x\varphi\Rightarrow\psi) $$ siempre que $x$ es una variable que no es libre en $\psi$. Así que la fórmula en cuestión es lógicamente equivalente a $\forall xP(x)\Rightarrow\forall yP(y)$.

Mirando el poblem desde una perspectiva ligeramente diferente. (I) todos los objetos en el dominio de discurso tienen la propiedad de $P$, es decir $\forall y P(y)$ es verdadero o (ii) no es $un$ en el dominio para el que $P$ falla, es decir, $\neg P(a)$ es cierto. En (i) $P(x)\Rightarrow\forall y P(y)$ debe ser cierto, por lo que $\exists x(P(x)\Rightarrow\forall y P(y))$ es cierto. En (ii) $P(a)\Rightarrow\forall y P(y)$ debe ser cierto, por lo tanto, la frase en cuestión debe ser cierto.