Un campo que no es algebraicamente cerrado, pero no tiene extensiones, de un determinado grado(s)?

Question

En el campo $k$ obtenido como la unión de todos finito torres de grado $2$ extensiones sobre los racionales. A continuación, $k$ no tiene ningún grado de $2$ extensiones, sin embargo, $k$ admite las extensiones de todos los otros finito grado.

Una construcción similar debe mantener en la mayor generalidad. Hay un nombre para un campo en la literatura? El grado $2$ ejemplo me recuerda a la de un análogo de la edificable números de más de $\mathbb{C}$.

¿Hay alguna razón por la que esta construcción se produce un error en general?

Answer 1

Esta construcción -- el compositum de todos finito $p$-las extensiones de la base de campo de $k$ dentro de un plazo algebraica de cierre, se llama la $p$-el cierre de un campo (al menos por algunos, el término no parece ser particularmente universal). Y así que no, no hay problemas con la construcción en general.

Una de las mejores cosas acerca de ella es que la cohomology de su grupo de Galois es extraordinariamente explícito, debidos en gran parte al hecho de que el $p$-th mapa de poder en $k^\times$ es necesariamente surjective, al menos cuando se $k$ contiene el $p$-th raíces de la unidad (si no, que se adhiere a $p$-ésima raíz daría un mayor $p$-extensión). Esto probablemente explica por qué también sólo ver el ejemplo para $p=2$ cuando se toma $k=\mathbb{Q}$. El $p$-el cierre de un campo resulta ser relativamente crucial en la teoría general de la $p$-extensiones debido a esto (fácil cohomology cálculos son típicamente difíciles de conseguir!). Una buena referencia es de Koch Galois, Teoría de la $p$-Extensiones.