Cuando es el topológica cierre de una relación de equivalencia automáticamente una relación de equivalencia?

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico, no necesariamente agradable, vamos a $R$ ser un subespacio de $X \times X$, y deje $\overline{R}$ es el cierre de $R$$X \times X$. Entonces:

• Si $R$ es reflexiva binario relación en $X$, $\overline{R}$ es también un reflexiva binario relación en $X$.
• Si $R$ es un simétrico binario relación en $X$, $\overline{R}$ es también un simétrico binario relación en $X$.

Por otro lado, la siguiente afirmación es falsa:

• Si $R$ es una relación de equivalencia en $X$, $\overline{R}$ también es una relación de equivalencia en $X$.

De hecho, podríamos tomar a $X = \mathbb{R}$ y $$R = \left\{ (x_0, x_1) \in \mathbb{R} \,\middle\vert\, \exists z \in \mathbb{Z} . -\frac{1}{2} \le x_0 - z < \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \le x_1 - z < \frac{1}{2} \right\}$$ en el que caso de $\overline{R}$ no puede ser transitivo binarias de relación. (Tenga en cuenta que $X / R$ es indiscreta, por lo que el más pequeño cerrado relación de equivalencia que contiene a$R$$X \times X$!)

Por supuesto, esto no puede suceder si $X$ es discreta o indiscreta. Lo que me gustaría saber es esto:

Pregunta. ¿Qué son necesarias o suficientes condiciones en $X$ que aseguran que el cierre de una relación de equivalencia en $X$ siempre es una relación de equivalencia?

Answer 1

Esta respuesta parcial resuelve el problema de espacios conectados.

Utilizando la idea del ejemplo en la pregunta que usted pueda demostrar que si la conexión de un espacio de $X$ tiene la propiedad de que el cierre de cada relación de equivalencia en $X$ es una relación de equivalencia, a continuación, $X$ es hiperconectado.

Si $X$ está conectado pero no hiperconectado, vamos a $U \subseteq X$ ser un conjunto abierto no vacío cuyos complemento, $U^{\mathtt{C}}$, tiene interior no vacío. Deje $R$ ser la relación de equivalencia en $X$ cuyas clases de equivalencia se $U,U^{\mathtt{C}}$ (es decir, $R = ( U \times U) \cup ( U^{\mathtt{C}} \times U^{\mathtt{C}} )$). Como $U$ no está cerrado, algunos $v \in U^{\mathtt{C}}$ es un punto límite de $U$. Tomando $u \in U$ $w \in \operatorname{Int} (U^{\mathtt{C}})$ se sigue que $u \mathrel{\overline{R}} v$$v \mathrel{\overline{R}} w$$u \not\mathrel{\overline{R}} w$.

Por el contrario, cada hiperconectado espacio de $X$ satisface la propiedad, ya que la diagonal es denso en $X \times X$ (de modo que el cierre de cada reflexiva de la relación en $X$$X \times X$).

La expansión de este, un espacio general para satisfacer la propiedad de todos los abiertos conectados subespacio debe estar hiperconectado. Esta condición no es suficiente, como restringir el ejemplo de la pregunta para el conjunto de $\mathbb{Q}$ de los racionales da una relación de equivalencia en un totalmente desconectado espacio sin puntos aislados (que no tiene abierto conectado subespacios), cuyo cierre no es transitiva.