¿Cuándo $a + b$ brecha $a^p + b^p$?

Question

Me encontré con un problema en Niven número de la teoría de texto (problema 51 en la página 20) que le pide lo siguiente:

Mostrar que si $(a, b) = 1$ $p$ es un extraño primo, entonces $$\left(a + b, \frac{a^p + b^p}{a + b}\right) = 1 \text{ or } p.$$

No estoy pidiendo una solución a este problema; en cambio, estoy tratando de entender por qué $a^p + b^p$ siempre sería divisible por $a + b$ dadas las condiciones anteriores. ¿Alguien tiene algún conocimiento de por qué esto sería cierto? Donde (si en absoluto) hacemos uso de las condiciones que $(a, b) = 1$ $p$ es una extraña prime?

Answer 1

$x^p+1$ tiene un cero en $x=-1$, por lo que la factorización con factor de $(x+1)$ existe (y se puede dar de forma explícita).

Ahora reemplace $x$ a ambos lados de la $a/b$ y multiplicar todo con $b^p$.

Answer 2

Explícitamente, si $p$ es cualquier entero positivo impar, $$(a + b) \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k a^{p-1-k} b^k = a^p + b^p$$ Usted no necesita $(a,b) = 1$, en el hecho de $a$ $b$ no necesita ser enteros (funciona en cualquier anillo conmutativo), y usted no necesita $p$ a ser el primer.

Answer 3

SUGERENCIA $\rm\ \big(x-a,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\!\big) = (x-a,\:f\:\:'(a))\:$ $\rm\: \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \: \equiv\ f\:\:'(a)\ \ \: (mod\ \:x-a)\ $ $\rm\ f(x)\in \mathbb Z[x]$

Para más detalles, ver mi post aquí, que profundiza en cómo este resultado es un númeroteórico-analógico de un conocido resultado acerca de las funciones (polinomios), viz. sobre la multiplicidad de las raíces.