Cuando metabelian?

Question

Estoy interesado en saber si ciertos grupos de $G$ son metabelian.

En general, mis grupos $G$ tienen el siguiente formato: hay una secuencia exacta $1\to N\to G\to Q\to 1$ donde $N$ es abelian, y $Q=K\rtimes H$ $K$ $H$ abelian.

Claramente $G$ es soluble de longitud 3. Por otra parte sé que la derivada de los subgrupos $G'$ centraliza $N$, y que el derivado de los subgrupos $Q'$ centraliza $K$.

Mi idea obvia es la de modificar la secuencia exacta de la obtención de un grupo abelian $A$ (que contiene a $G'$) tal que $G/A$ es abelian. Por favor alguien puede darme una mano sobre cómo proceder?

Gracias de antemano.

Answer 1

$G=\operatorname{SL}(2,3)$ $N=Z(G)$ a de orden 2, $K=Q_8/N$ primaria abelian de orden 4, y $H$ a de orden 3. $G'$ centraliza $N=Z(G)$, y, por supuesto, $Q'=K$ centraliza $K = Q'$, ya que el $K$ es abelian. Sin embargo, $G$ no es metabelian.

Hay muchos otros ejemplos en contra, así que no veo la manera de solucionarlo.

También, su "yo sé" se refiere a la hipótesis extra: $S_4$ tiene la forma especificada en su secuencia exacta, sino $G'$ no centralizar $G''$