no derivado de la convergentes función ir a 0?

Question

Mi pregunta: si $f$ es diferenciable y $\lim_{x \to \infty} f(x) = M$, ¿esto implica que $\lim_{x \to \infty} f'(x) = 0$?

Mi pensamiento: no existe $X$ tal que $\forall x,y>X$, $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ por el criterio de Cauchy. Por lo tanto $\frac{|f(x)-f(y)|}{x-y} = f'(d)< \epsilon$$d$$x$$y$.

Me preocupa que esto no si $x$ está muy cerca de a$y$, aunque.

Answer 1

No, que el enunciado es falso. Considere la posibilidad de $f(x) = \dfrac{1}{x}\sin(x^3)$.

Desde $\left|\dfrac{1}{x}\sin(x^3)\right| \le \dfrac{1}{x}$$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x} = 0$, por el teorema del sándwich, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}\sin(x^3) = 0$.

Sin embargo, $f'(x) = 3x\cos(x^3) - \dfrac{1}{x^2}\sin(x^3)$ que es ilimitado como $x \to \infty$.

Answer 2

Como ya se ha demostrado, usted puede encontrar fácilmente una función que se ajuste a su condición, pero cuya derivada es ilimitado como $x \to \infty.$

Una más caso límite es $f(x) = \dfrac{\sin (x^2)}{x}.$

Es fácil demostrar (por el teorema del sándwich) que $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0,$ pero

$$ f'(x) = 2 \cos(x^2) - \frac{1}{x^2}\sin (x^2). $$

Esta cantidad está limitada por un gran $x$ pero nunca converge.