La diferenciabilidad de las Normas

Question

Estoy mirando para que el punto(s) $\mathbb{R}^n$ $p\geq 1$ de manera tal que el mapa de $\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ dada por

$x\mapsto ||x||_p=(|x_1|^p+\cdots+|x_n|^p)^{\frac{1}{p}}$

es diferenciable.

Intuitivamente, no es difícil "adivinar" la respuesta que se

1. para todos los $p$, el mapa no es diferenciable en el origen.
2. para $p=1$, el mapa no es diferenciable en todas partes, excepto para el eje.
3. para $p>1$, el mapa es diferenciable en todas partes, excepto en el origen.

Que me vienen con estas respuestas mediante la comprobación de la continuidad de las derivadas parciales, lo cual es bastante tedioso. Sin embargo, se me pidió incluso a verificar estos por definición.

Me pregunto si hay una muy cuidada y perspicaz manera de ver esto.

Answer 1

De hecho, usted no necesita comprobar todas las derivadas parciales de todas estas funciones, pero todavía sigue siendo sencillo . . . podemos tomar algunos atajos. Veamos cómo:

Supongo que 1.: Es correcto. Para ver esto, usted puede componer todas las normas, con, por ejemplo, la curva de $\gamma(t)=(t,0,\ldots,0)$. Se nos da $\|\gamma(t)\|_p=|t|^{{p}\frac{1}{p}}=|t|$, que sabemos que no es derivable en cero.

Conjetura 2.: No es precisamente correcto, pero entiendo lo que quieres decir. La función de $x\mapsto\|x\|_1$ es diferenciable en todas partes, excepto en el eje. Para ver esto, tomar una fija $x$ fuera del eje y de un pequeño barrio que no se intersecan el eje,

$$\displaystyle\|x\|_1=\sum_{i=1}^n\pm x_i$$

donde los signos $\pm$ está determinado por los signos de las coordenadas de $x$ y que no cambian en un pequeño barrio de $x$. Por lo tanto, $\|x\|_1$ es diferenciable en a $x$ fuera del eje, porque es simplemente una suma/resta de coordenadas. Y $x\mapsto\|x\|_1$ no es diferenciable en el eje. Para ver esto, tomar un punto sobre el $i$-eje, $(0,\ldots,0,x_i,0,\ldots,0)$ y considere la ruta

$$\gamma(t)=(0,\ldots,0,t,0,\ldots,0,x_i,0,\ldots,0)$$

(acaba de poner a $t$ en otra coordenada). A continuación, $\|\gamma(t)\|_1=|t|+|x_1|$ que no es diferenciable en a $0$, por lo tanto $\|\cdot\|_1$ no es diferenciable en a $(0,\ldots,0,x_i,0,\ldots,0)$

Edit: como @iloveinna me señaló, el argumento, de hecho, muestra que en los puntos que contiene algunos de cero de coordenadas, se puede realizar el mismo argumento, por lo $\|\cdot\|_1$ no es diferenciable no sólo en el eje, pero en el hyperplanes generado por los vectores de la base canónica.

Supongo que 3.: Es correcto, porque fuera del origen, todos ellos son la composición de dos funciones que son diferenciables de $0$, dicen

\begin{eqnarray} x&\longmapsto&|x_1|^p+\cdots+|x_n|^p \phantom{20}\textrm{and}\\ t&\longmapsto&t^\frac{1}{p} \end{eqnarray}

Como podemos ver, no hemos calculado el parcial derivtives. En lugar de ello, hemos utilizado las rutas para mostrar no la diferenciabilidad de primaria y de propiedades (de las composiciones y los signos de las coordenadas) para ver la diferenciabilidad, pero aún sigue siendo sencillo.