Vamos a restringir el debate a una dimensión espacial para la simplicidad.
Lo que está pasando con derivadas parciales?
El lagrangiano es una función de dos variables reales. Comúnmente etiqueta de estas variables $q, \dot q$ a causa de su significado físico. Por ejemplo, el de lagrange para un uno-dimensional de oscilador armónico simple es
\begin{align}
L(q, \dot q) = \frac{1}{2}m \dot q^2 -\frac{1}{2}k q^2
\end{align}
Observe que sólo podría fácilmente haber escrito
\begin{align}
L(\heartsuit, \clubsuit) = \frac{1}{2}m\clubsuit^2 - \frac{1}{2}k\heartsuit^2,
\end{align}
porque estamos a sólo mediante el uso de etiquetas para las dos ranuras que puede ser de cualquiera de los símbolos que nosotros elegimos. Sin embargo, es conveniente ceñirse a un particular, el etiquetado, porque entonces, podemos utilizar algunas notación conveniente para las derivadas parciales. Por ejemplo, si utilizamos el $q, \dot q$ etiquetado, entonces las expresiones
\begin{align}
\frac{\partial L}{\partial q}, \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot q}
\end{align}
significa que los derivados de la $L$ con respecto a su primero y segundo de los argumentos ("slots"), respectivamente. Pero tenga en cuenta que si hemos utilizado la segunda etiquetado de arriba, podemos fácilmente podría haber escrito
\begin{align}
\frac{\partial L}{\partial \heartsuit}, \qquad \frac{\partial L}{\partial \clubsuit}
\end{align}
de la misma derivados.
¿Qué es exactamente el de hamilton...¿de verdad?
Ahora, el Hamiltoniano es también una función de dos variables reales, y convenimos en llamar $q$$p$, pero, ¿cómo es esta función genera a partir de un dado de Lagrange $L$? Así que debemos tener cuidado aquí porque aquí es donde los físicos tienden a realmente abuso de notación.
Lo que hacemos es definir una función de $\bar p$ (la canónica impulso conjugado de a $q$) como ciertos derivados de la Lagrangiana:
\begin{align}
\bar p = \frac{\partial L}{\partial \dot q},
\end{align}
donde yo estoy usando el convencional de etiquetado para los argumentos de la lagrangiana. Puedo poner un bar en $p$ aquí para evitar los frecuentes abusos de la notación que vamos a ver en la física, y para destacar el real matemáticas de lo que está pasando. Observe, en particular, que en este convencionales de etiquetado, $\bar p$ es una función de dos variables reales $q$$\dot q$.
Siguiente, podemos escribir la relación
\begin{align}
p = \bar p(q, \dot q),
\end{align}
y nos invertir para escribir $\dot q$ en términos de$q$$p$, por lo que ahora tenemos
\begin{align}
\dot q = \text{some expression in terms of %#%#%, and %#%#%} = f(q,p),
\end{align}
Finalmente, definimos
\begin{align}
H(q,p) = p f(q,p) - L(q, f(q,p)).
\end{align}
Aviso, de nuevo, que con la misma facilidad podríamos tener la etiqueta de los argumentos de $q$ con cualquiera de las etiquetas que quería, pero una vez que hacemos esto, por lo general se adhieren a que el etiquetado en el que caso de que el mismo comentario que hemos hecho anteriormente para los derivados de la Lagrangiana se puede hacer aquí.
Tenga en cuenta que intuitivamente lo que ocurre aquí es que el Hamiltoniano es definido "como una función de la $p$$H$; nunca debe de ser de la escritura "como una función de la $q$$p$."
Ejemplo. Considerar, de nuevo, el unidimensional de oscilador armónico simple. Tenemos
\begin{align}
\bar p (q, \dot q) = \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q, \dot q) = m \dot q
\end{align}
Así que ahora la relación $q$ es
\begin{align}
m \dot q = p
\end{align}
y por lo tanto la inversión para escribir $\dot q$ en términos de $\bar p (q, \dot q) = p$ $\dot q$ es super fácil en este caso;
\begin{align}
\dot q = \frac{p}{m} = f(q,p).
\end{align}
De ello se sigue que
\begin{align}
H(q,p) &= p f(q,p) - L(q, f(q,p)) \\
&= p(p/m) - \frac{1}{2}m(p/m)^2 +\frac{1}{2}kq^2 \\
&= \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2
\end{align}
Ahora bien, teniendo derivados con respecto a $q$ $p$ simplemente significa tomar derivados con respecto al primer y segundo de los argumentos de esta función de dos variables reales.
¿Qué acerca de las ecuaciones de Hamilton, etc.?
Ahora, que sabemos lo que el hamiltoniano es y cómo se calcula, que vamos a abordar ecuaciones como las ecuaciones de Hamilton:
\begin{align}
\dot q = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \dot p = -\frac{\partial H}{\partial q},
\end{align}
De nuevo, la confusión no es de extrañar porque los físicos son conocidos por abusando de la notación, en estos casos, y no señalarlo.
Para interpretar esta bien, se nota que en la formulación Hamiltoniana, el estado del sistema en cualquier momento dado, $q$ se compone de un par de $p$ da el valor de la posición del sistema y de sus canónica impulso en ese momento $t$. En realidad, con el fin de evitar la perpetuación de común confusiones, vamos a utilizar una notación diferente y escribir $(q(t),p(t))$ para el estado del sistema en tiempo de $t$ y reservamos $(\gamma_q(t), \gamma_p(t))$ $t$ para las etiquetas del argumento de $q$.
Entonces las ecuaciones de Hamilton en realidad están diciendo que si el par $p$ es un movimiento físico realizado por el sistema, a continuación,
\begin{align}
\dot \gamma_q(t) = \frac{\partial H}{\partial p}(\gamma_q(t), \gamma_p(t)), \qquad \dot \gamma_p(t) = -\frac{\partial H}{\partial q}(\gamma_q(t), \gamma_p(t)).
\end{align}
para todos los $H$. En otras palabras, tenemos un sistema de junto, las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden para las funciones de la $(\gamma_q(t), \gamma_p(t))$. Usted puede ver, porque de esta notación, que por ejemplo, $t$ en las ecuaciones de Hamilton es una bestia diferente a $\gamma_q(t), \gamma_p(t)$ como se utiliza para etiquetar los argumentos de la Lagrangiana. En el primer caso, se trata de una función, en este último caso, es sólo una etiqueta.
Siempre se puede evitar esta ambigüedad mediante el uso de diferentes notaciones para estos animales en los diferentes contextos, como lo he hecho aquí. Sin embargo, una vez que usted sepa lo que usted está haciendo, usted puede felizmente, una vez más volver a la sobrecarga de los símbolos que se está usando, y que probablemente no lleguen a un error en el procedimiento, o conceptualmente. De hecho, en la práctica, casi todo el mundo que sabe lo que hace lo hace porque es más rápido.
