Creo que debería utilizar una transformación lineal doble, pero no encuentro ninguna solución adecuada.
Dejemos que $\mathbb F$ sea un campo, $\mathscr M_n (\mathbb F)$ el conjunto de $n\times n$ matrices con elementos en $\mathbb F$ y $A\in \mathscr M_n (\mathbb F)$ que satisface la ecuación $$ A^2=2A. $$ Demostrar que $A$ es diagonalizable y encontrar sus valores propios.
Gracias a todos.
Si $A^2-2A=0$ entonces $p(A)=0$ , para $p(x)=x^2-2x$ , y por tanto el polinomio mínimo de $A$ sólo puede ser uno de los tres siguientes: $$ x^2-2x,\,\,\, x\,\,\, \text{or}\,\,\, x-2, $$ cada uno de los cuales posee sólo raíces simples, y por lo tanto $A$ es diagonalizable.
En general, si una matriz es aniquilada por un polinomio que no tiene ninguna raíz múltiple, entonces esta matriz es diagonalizable.
Si no es consciente del hecho anterior, intente la descomposición de Jordan, y vea que $A$ no puede tener ningún bloque de Jordan, en su descomposición de Jordan.
Nota. Esta prueba sólo funciona en el caso en que $0\ne 2$ en el campo $\mathbb F$ . Si $2=0$ en $\mathbb F$ entonces el polinomio $p$ se convierte en $p(x)=x^2$ En este caso, la condición $A^2=0$ no garantiza que $A$ es diagonalizable. De hecho, existen matrices no diagonalizables que satisfacen $A^2=0$ .
Tal y como está planteado (sobre todo sin ninguna restricción en el campo*) el resultado es falso. En la característica $2$ toda matriz nilpotente de orden de nilpotencia $~2$ satisface $A^2=2A$ pero tales matrices no son diagonalizables. Véase también esta respuesta a una pregunta bastante similar.
*excepto que debe ser denotable utilizando un tipo de letra de pizarra
Permítanme tratar de demostrarlo de una manera más elemental:
Definimos los eigenspaces $$ X_0=\{x\in\mathbb F^n: Ax=0\} \,\,\,\text{and}\,\,\, X_2=\{x\in\mathbb F^n: Ax=2x\}. $$ Demostraremos que $\mathbb F^n=X_0\oplus X_2$ .
Claramente $X_0\cap X_2=\{0\}$ .
Dejemos que $x\in\mathbb F^n$ , $x_2=\frac{1}{2}Ax$ y $x_0=x-x_2$ . Entonces $$ Ax_0=Ax-Ax_2=Ax-\frac{1}{2}A^2x=\frac{1}{2}(A^2-A)x=0, $$ y $$ Ax_2-2x_2=\frac{1}{2}A^2x-2\cdot\frac{1}{2}Ax=\frac{1}{2}(A^2-2A)x=0. $$
Dejemos que $\{b_1,\ldots, b_k\}$ una base de $X_0$ y $\{b_{k+1},\ldots,b_n\}$ una base de $X_2$ y $U$ sea la matriz con columnas $b_1,\ldots,b_n$ . Entonces $UAU^{-1}$ es diagonal.
Obsérvese que tenemos que suponer que $2\ne 0$ en $\mathbb F$ (por ejemplo, $\mathbb F\ne\mathbb Z_2$ ).
@H.Shindoh: No hay nada malo si $\Bbb F$ resulta ser $\Bbb C$ . O si $\Bbb F$ resulta ser $\Bbb R$ . Pero ninguna de las dos cosas se dio en la pregunta, y no existen otros campos que $\Bbb R$ o $\Bbb C$ . En efecto, $\Bbb F=\Bbb F_2$ es muy posible, y la afirmación es falsa en ese caso. Pero tal vez me estoy perdiendo alguna convención tácita sobre los campos que pueden ser designados por la letra en negrita de la pizarra $\Bbb F$ ? Por lo que sé, es sólo una elección de fuente desafortunada.
Supongamos que $Ax = \lambda x$ , $x \neq 0$ .
$Ax = \lambda x \Leftrightarrow 2Ax=2\lambda x \Leftrightarrow A^2x = 2\lambda x \Leftrightarrow A(Ax) = 2\lambda x \Leftrightarrow A(\lambda x) = 2 \lambda x \Leftrightarrow \lambda Ax = 2 \lambda x $ . Eso significa que, o bien $\lambda = 0$ o $Ax = 2 x$ lo que significa que $0$ y $2$ son los únicos valores propios de $A$ .
Supongamos que no es diagonalizable. Entonces existen vectores no nulos $e_1$ y $e_2$ , de tal manera que $Ae_1 = \lambda e_1$ y $Ae_2 = \lambda e_2 + e_1$ , donde $\lambda$ es $0$ o $2$ .
Si $\lambda = 0$ , entonces obtenemos $Ae_1 = A^2 e_2 = 2A e_2 = 2e_1 = 0$ lo que contradice el hecho de que $e_1 \neq 0$ .
Si $\lambda = 2$ entonces $2e_1 = Ae_1 = A^2e_2 = 2A e_2 = 4e_2+2e_1$ entonces $e_2 = 0$ y volvemos a tener una contradicción.
Esto significa que $A$ es efectivamente diagonalizable.
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$A$ satisface el polinomio $x^2-2x = x(x-2)$ que se divide.
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Hey, después de haber respondido a esta pregunta para indicar que la pregunta sin restricción del campo tiene una respuesta negativa, de repente una restricción del campo para ser $\Bbb R$ o $\Bbb C$ apareció (en una edición hecha no por OP, que parece que ya no está, sino por Yiorgos S. Smyrlis). No se cambia una pregunta sólo para que una respuesta sea válida, sino que se cambia la respuesta. Y he comprobado que nunca hubo ninguna restricción en el campo en la pregunta original, así que he vuelto a editarla.