Comparar dos potencias de números sin divisor común

Question

Cuál de los números de $2^{60}$ $3^{43}$ es mayor? No es común divisor y se debe hacer sin una calculadora.

Answer 1

También podemos notar que

$3^{43} > 3^{40} = 9^{20} > 8^{20} = 2^{60}$.

Answer 2

Desde $$3^7=2187\gt 1024=2^{10},$$ uno tiene $$3^{43}\gt 3^{42}=(3^7)^6\gt (2^{10})^6=2^{60}.$$

Answer 3

Si nos fijamos en las facultades de 3: 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187. 2187 se ve bastante cerca de una potencia de 2: 2048. Así que vamos a empezar con que:

$$3^7 > 2^{11}$$

Tomar los dos a la 5ta potencia:

$$3^{35} > 2^{55}$$

Obviamente:

$$3^8 > 2^5$$

La multiplicación de esos juntos: $3^{43} > 2^{60}$.

Answer 4

$$3^{43}>2^{60}\iff (3/2)^{43}>2^{17}\iff (1+0.5)^{\frac{43}{17}}>2,$$

que es cierto por Bernoulli generalización:

$$(1+0.5)^{\frac{43}{17}}\ge 1+0.5\cdot \frac{43}{17}>2$$

Answer 5

El uso de $a^{bc} = (a^{b})^{c}$ obtenemos:

$$3^{43} = 9^{43/2} > 9^{21} > 8^{20} = 2^{60}$$