¿Cómo podemos construir asociado un paquete de $V_{n, q}(\omega)$ $B$ con fibra típica $V_{n - q}(F)$?

Question

Deje $V_{n - q}(\mathbb{C}^n)$ denotar el complejo Stiefel colector consta de todas las complejas $(n - q)$-marcos en $\mathbb{C}^n$ donde $0 \le q < n$. Este colector es $2q$-conectado, y$$\pi_{2q + 1} V_{n - q}(\mathbb{C}^n) \cong \mathbb{Z}.$$Given a complex $n$-plane bundle $\omega$ over a CW-complex $B$ with typical fiber $F$, how do we construct an associated bundle $V_{n - q}(\omega)$ over $B$ with typical fiber $V_{n - q}(F)$?

Progreso. Así que mi idea es considerar el vector paquete de $\text{Hom}(B \times \mathbb{C}^{n-q}, \omega)$$B$, y tomar la subvariedad abierta de homomorphisms $u$ tal que $u_b$ es inyectiva para cada una de las $b \in B$. Pero no estoy seguro de si esto iba a funcionar o no... Podría alguien ayudar?

Answer 1

Una manera de hacer (es decir, definir, convencerse a sí mismo de que existan etc) estos "asociados paquete de construcciones, es tomar una tapa abierta $\{U_\alpha\}$ $B$ de manera tal que su paquete de $\omega$ es trivial sobre cada una de las $U_\alpha$, hacer la construcción a nivel local, y luego volver a montar. Concretamente, la revisión de una trivialización $$\phi_\alpha : \omega|_{U_\alpha} \rightarrow U_\alpha \times F$$ for each $\alfa$, and let the transition functions be $\psi_{\alpha\beta}$. A continuación, tomar el local de los modelos de $U_\alpha \times V_{n-q}(F)$ y la cola, junto con el de la transición de las funciones inducida por la $\psi_{\alpha \beta}$.

Una alternativa de construcción en su caso es tomar el Whitney suma de $n-q$ copias de $\omega$, a continuación, tomar el subespacio formado de ortonormales $(n-q)$-tuplas de vectores. Esto es muy similar a lo que estás sugiriendo. De hecho, usted puede modificar su propuesta, por la restricción para el subespacio de homomorphisms que preservar el interior del producto y recuperar exactamente esto.

No puede ser más unificado de la categoría de la teoría del punto de vista de este.