Básicamente, para desarrollar "formalmente" un geomety tienes dos maneras; llamar analítico y sintético , respectivamente.
Analítica
Este es nuestro "buen viejo" geometría Analítica :
un punto en el espacio es una ordenó triple de real números : $(x_1,x_2,x_3)$
una línea es la totalidad de los puntos de $(x_1,x_2,x_3)$ tal que $u_1x_1 + u_2x_2 + u_3x_3 = 0$,
donde al menos uno de $u_j (j = 1,2,3)$ es diferente de cero
y así sucesivamente ...
Pero real los números son definibles en la teoría de conjuntos; de modo que - en principio - se puede traducir en conjunto de la teoría de la notación de la ecuación de la recta.
Sintético
Ver Edwin Moise, Elementales de la Geometría desde un Punto de vista Avanzado (3ª ed - 1990), página 43 :
el espacio será considerado como un conjunto de $S$; los puntos del espacio serán los elementos de este conjunto. También le han dado una colección de subconjuntos de a $S$, llamados líneas, y otra colección de subconjuntos de a $S$, llamados planos.
Así, la estructura que se inicie con un triplete : $<\mathcal S, \mathcal L, \Pi>$, donde los elementos de $\mathcal S, \mathcal L, \Pi$, y son llamados puntos, líneas y planos, respectivamente.
Nuestros postulados va a ser formulada en términos de los conjuntos de $\mathcal S, \mathcal L$, e $\Pi$.
Aquí están los dos primeros postulados :
I-0 : Todas las líneas y los planos son conjuntos de puntos.
I-1 : Dados dos puntos diferentes, no es exactamente una línea que los contiene [podemos "trivial" expresa el hecho de que el punto de $Q$ está contenida en la línea de $l$ con la fórmula : $Q \in \mathcal S \land l \in \mathcal L \rightarrow Q \in l$ ].
Escribimos $\overline{PQ}$ por la única línea que contenga $P$$Q$.
Definimos la relación de intermediación entre (sic !) tres puntos de $P, Q, R$.
Entonces [ver páginas 64-65] : si $R,Q$ son dos puntos, el segmento de entre $R$ $Q$ a es el conjunto cuyos puntos son $R$$Q$, junto con todos los puntos entre el$R$$Q$.
El rayo $\overrightarrow {AB}$ es el conjunto de todos los puntos de $C$ de la línea de $\overline {AB}$ tal que $A$ no está entre los $C$$B$. El punto de $A$ es llamado el punto final de la ray $AB$.
Un ángulo es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto final, pero no se encuentran en la misma línea. Si el ángulo es la unión de $\overrightarrow {AB}$$\overrightarrow {AC}$, a continuación, estos rayos se llaman los lados del ángulo; el [común] punto final $A$ se llama vértice.
Por último, se puede "cerrar el círculo", entre estos dos enfoques.
Suponiendo que hemos definido el conjunto de $\mathbb N$ de los números naturales dentro de la teoría de conjuntos [pero yo prefiero decir que hemos definido un modelo de la número natural del sistema] y, a continuación, el conjunto de $\mathbb R$ real en los números, que se puede utilizar $\mathbb R^3$ y llame a : (tres dimensiones) de espacio.
Comentario
Lo que hemos ganado hasta ahora ? Creo que nada más y nada menos que lo que ya tenemos con Descartes y el descubrimiento de la geometría analítica : una "incrustación" de la geometría euclidiana en el "plano cartesiano".
Por supuesto, el "básico" conjunto teórico del lenguaje nos brinda una poderosa herramienta para expresar también geométrico "hechos" : podemos escribir $P \in l$ para : "el punto de $P$ está contenida en la línea $l$", podemos escribir $l_1 \cap l_2 \ne \emptyset$ "dos líneas se cruzan el uno al otro", ...
Pero creo que hablar de la "fundación para la mayoría de la matemática moderna" puede ser mesleading.
