Confundido acerca de la diferenciación

Question

Soy nuevo en el el cálculo y se les ha enseñado que $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ es la tasa de cambio de y con respecto a x. Qué $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ mostrar cuánto la variable y los cambios a medida que x se cambia? Hay más en la comprensión de esta parte de cálculo, me siento como que me estoy perdiendo los fundamentos detrás de cálculo diferencial.

También una cosa que yo no entiendo es cuando se hace el u-sustitución de integración si dejamos $u=2x +1$ por ejemplo, yo veo a veces $\displaystyle du = 2dx \therefore dx = \frac{du}{2}$. ¿Qué es esto conocido como y por qué funciona? Mi maestro de la escuela se encuentra $\displaystyle \frac{du}{dx}$ y reorganiza esto $dx$ el tema. Es esta una práctica incorrecta? He buscado esta aquí y no puede encontrar una respuesta definitiva.

¿Cuál es la notación correcta para ser utilizada? A la hora de diferenciar y = f(x) nosotros siempre estamos operando en y como en $\displaystyle \frac{d}{dx} (y)$ = $\displaystyle \frac{dy}{dx}$. Si usted diferenciar x^2 w.r.t x como en $\displaystyle \frac{d}{dx}x^2$, son las que la búsqueda de lo mucho x^2 cambios como x cambios correo.g si $x = 1, x^2 = 1, x = 2, x^2 = 4, x = 3, x^2 = 9$ $x^2$ es de 2 veces el valor de x? Si tenemos algo como $y^3$, lo que significa diferenciar $y^3$ con respecto a x como en $\displaystyle \frac{d}{dx} y^3$ ¿cómo se hace?

gracias, he estado buscando las soluciones a mis problemas por un rato, pero no puede encontrar una respuesta que me deja satisfecho. Lo siento si las preguntas likethese no se pide aquí.

Answer 1

Se están haciendo algunas preguntas excelentes! En primer lugar, usted está en lo correcto en la evaluación de la notación $\frac{dy}{dx}$ como la tasa de cambio de $y$ con respecto al $x$. Es importante tener en cuenta, sin embargo, que la derivada da una instantánea de la tasa de cambio. En álgebra básica, hablamos de líneas y sus laderas; la pendiente nos permite medir la tasa de cambio de $y$ w.r.t $x$. Si hemos de hablar ahora acerca de la más general de las funciones, no necesariamente líneas-como $y=f(x)=x^2$, podemos definir formalmente la derivada como el límite de la $$\frac{df}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$ Pero esta definición es esencialmente la idea de la pendiente! Tomar una $y$valor $y=f(x)$ y el otro $y$valor $y'=f(x+h)$ un poco más lejos, tomar la diferencia ( $\Delta y$ ) y hacer lo mismo con la diferencia de $x$, $\Delta x=h$, y luego se divide. Esto le da la pendiente de la secante de la línea que pasa a través de la curva de $y=f(x)$$x$$x+h$. Ahora, el límite de la parte delantera es simplemente nos pide para visualizar los dos puntos de $y$ $y'$ a estar muy cerca el uno del otro-la secante de la línea se convierte así en una línea tangente, y en lugar de escribir $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, ahora escribiremos $\frac{dy}{dx}$, por la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier $x$. Por lo tanto la derivada $\frac{dy}{dx}$ es una función, que cuando se evalúa a $x$, los rendimientos de la pendiente de la recta tangente a la curva de $y=f(x)$ en el punto de $x$.

En este sentido, la derivada en realidad le da información acerca de la tasa instantánea de cambio de una función. Imaginar la función de $y=f(x)$ como la trayectoria de una pelota de béisbol. Si hemos eliminado el límite de frente de arriba (es decir, sólo algunos de computación $\frac{\Delta y}{\Delta x}$) tendríamos calcula la pendiente de la secante de la línea, es decir, la velocidad promedio de la pelota de béisbol durante el intervalo de tiempo $(x,x+h)$. En tomando el límite, sin embargo, podemos hacer de este intervalo más pequeño y más pequeño hasta que estamos hablando de la velocidad real de la pelota de béisbol en algún momento $x$. Espero que esto te da la intuición como un derivado, extiende el concepto de pendiente/tasa de cambio.

Como AlexR se mencionó anteriormente, el $u$-sustituciones hacemos al calcular las integrales están realmente relacionadas con la regla de la cadena, por lo que se encuentra allí es perfectamente rigurosa prueba. Usted está justificada en la sensación de intranquilidad acerca de escribir cosas como $du=2dx$, pero puede estar seguro de que esto es simplemente por conveniencia notacional. Usted puede pensar en esto más rigurosamente como AlexR describe (o, de hecho, si usted aprende geometría diferencial, la notación puede ser rigurosa en términos de formas diferenciales).

Answer 2

Mientras que las otras respuestas son precisas y al punto, la cooperativa puede estar buscando motivación para el cálculo de las prácticas que había observado en el aula. Para abordar específicamente a su pregunta:

"una cosa que yo no entiendo es cuando se hace el u-sustitución de integración si dejamos $u=2x +1$ por ejemplo, yo veo a veces $\displaystyle du = 2dx \therefore dx = \frac{du}{2}$. ¿Qué es esto conocido como y por qué funciona? Mi maestro de la escuela se encuentra $\displaystyle \frac{du}{dx}$ y reorganiza esto $dx$ el tema. Es esta una práctica incorrecta? He buscado esta aquí y no puede encontrar una respuesta definitiva."

Me gustaría señalar que la justificación adecuada de su maestro procedimiento implica infinitesimals. En este enfoque, $dx$ $du$ son infinitesimals y la expresión de $\frac{du}{dx}$ es una proporción. Si bien hay algunos detalles de planchar, también se debe tener en cuenta que el enfoque convencional adoptado en la mayoría de las universidades evita infinitesimals y se formula el cálculo en términos de los números reales y epsilon, delta procedimientos. En este enfoque resulta difícil tener en cuenta para $\frac{du}{dx}$ como una verdadera relación de una manera significativa. Mientras que usted tendrá que aprender el cálculo en la universidad de la forma en que se enseña allí, generalmente, es útil pensar en los procedimientos del cálculo en términos de infinitesimals.

Un revelador estudio de este fenómeno desde el punto de vista educativo es el siguiente artículo de R. Ely:

Ely, Robert: no estándar estudiante concepciones acerca de infinitesimales y números infinitos. Revista de Investigación en Educación Matemática 41 (2010), no. 2, 117-146. Ver http://www.nctm.org/publications/article.aspx?id=26196 y http://u.cs.biu.ac.il/~katzmik/ely10.pdf

Answer 3

$\frac{dy}{dx}$ es la tasa de cambio de y con respecto a $x$. Voy a tratar de explicar lo que esto significa.

Por ejemplo, tomemos $y=x^2$ Y vamos a averiguar $\frac{d}{dx}(x^2)$.En otras palabras, vamos a averiguar la tasa de cambio de $x^2$ con respecto al $x$. En otras palabras, vamos a averiguar cómo $x^2$ está cambiando cuando se introduce un cambio en $x$.

Así, se introduce un cambio en $x$, dicen, por un importe $h$, para hacer de ella $x+h$.Ahora, en lugar de $x^2$ tenemos $(x+h)^2$. Entonces, ¿cuánto cambio ha sido añadido a $x^2$?.

Es $$(x+h)^2-x^2=2xh+h^2$$ Esta es la cantidad de variación en $x^2$ cuando se introdujo un cambio de $h$$x$.Entonces, ¿cuál es la tasa? Es $$\frac{\text{change in }x^2}{\text{change in }x}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$$ Ahora observamos que la tasa depende de la cantidad de cambio que se están introduciendo.En realidad no estamos interesados en la gran cantidad de cambios. Lo que queremos encontrar es una instantánea de la tasa de cambio, queremos hacer el cambio o $h$ tan pequeño como sea posible,tan cerca de cero como sea posible, pero obviamente no es cero(entonces no habría ningún cambio!). De modo que $2x+h$ se está acercando a $2x$ $h$ se aproxima a cero.

Formalmente escribo esto como $$\underset {h\rightarrow 0}{lim}\text{ } 2x+h=2x$$ .

Ahora la definición formal de la derivada, $$\frac{d}{dx}(f(x))=\underset {h\rightarrow 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$o $$\frac{dy}{dx}=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ donde $\Delta y$ es el cambio en $y$ como variación$x$$\Delta x$ .

Así que como $\Delta x$ se aproxima a cero $\Delta y$ es también cero.Ahora podemos ver la derivada como cociente de dos infinitesimals. Esta es la razón por la que, por ejemplo, cuando $\frac{dy}{dx}=2$ ,escribimos $dy=2dx$ . Esto es a menudo útil para el punto de vista práctico. Pero no es muy matemáticamente riguroso, pero uno no necesita estar preocupado de que la mayoría de los casos.

Debe quedar claro ahora que derivado implica el concepto de límites, y me lo han explicado de una manera flexible.Pero eso está bien para entender y para que tengan una idea de lo derivado.

Ahora regresando a su pregunta de diferenciar $y^3$ con respecto al $x$, Ya que el $y$ es una función de $x$ $y^3$ es también una función de $x$. Así que debe ser posible hacer la diferenciación utilizando la definición de derivada de arriba.Ahora, si usted sabe $\frac{dy}{dx}$ hay reglas conocidas como la regla de la cadena para calcular la derivada de alguna función de y con respecto a x.Pero todo lo que se deriva básicamente de la definición de la base. Tan sólo en aras de la exhaustividad $$\frac{dy^3}{dx}=\frac{d(y^3)}{dy}\frac{dy}{dx}=3y^2\frac{dy}{dx}$$

$\frac{dy}{dx}$ es lo mismo que $\frac{d}{dx}(y)$. También cuando escribe $du=2xdx$ lo que significa es que el cambio infinitesimal en $u$, cuando se realiza un cambio infinitesimal en $x$ es 2 veces $x$ veces el cambio infinitesimal en $x$ .

Me pueden agregar algunos detalles más.Decir $y$ es arbitraria en función de la función de $x$ ($y=f(x)$).Cuando hacer el cambio de $x$$x+\Delta x$, f(x) cambia de esta manera $$f(x+\Delta x)=f(x)+(\text{some expression in x})\Delta x +(\text{something}){\Delta x}^2+(\text{something else }){\Delta x}^3+......$$

Usted verá que usando la definición de derivada el coeficiente de $\Delta x$ es el derivado de la $f(x)$ con respecto al $x$. Ahora $dy$ ( $(f(x+\Delta x)-f(x)$ ) $\Delta x$ tiende a cero . Esto puede ser visto para ser igual a $(\text{derivative})\times \Delta x+ \text{other terms}$ $\Delta x$ tiende a cero. Lo que estamos haciendo es casi como ignorar los términos relacionados con los poderes superiores de $\Delta x$ .

Answer 4

$$\frac{d}{dx} y(x)^3 = 3 (y(x))^2 \cdot y'(x)$$ por la regla de la cadena de diferenciación. La notación $du = 2dx$ no es matemáticamente limpio. En realidad, su uso en Sustitución de: $$\int_a^b y(x) dx = \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} y(\phi(u)) \cdot \phi'(u) du$$ Y le dais a $u = 2x + 1 \leadsto \phi(u) = \frac{u-1}{2}$ $\phi'(u) = \frac{1}{2}$