¿Por qué es difícil definir n-categoría?

Question

Perdóname por la vaguedad en el párrafo siguiente, pero no sé cómo comunicar lo que pienso de una manera más formal.

Si tenemos una definición para 1-categorías (categoría) y una definición de las 2 categorías, a continuación, seguramente podemos resumen este a 3 categorías, 4... hasta el infinito. Por lo que entiendo que el principal obstáculo en la definición de la n-categoría es que dos definiciones de una categoría equivalente, si la categoría de dichas categorías es equivalente, por lo que estamos atrapados en un bucle. (No puede ser de comunicar lo que quiero decir correctamente aquí..) Pero no es el caso que el infinito-categoría contiene las n-categoría para todo n, lo que nos permite detener el bucle de cíclicamente la definición de las categorías? Así que mi pregunta es, ¿cuáles son los principales obstáculos en la creación de una definición de la n-categoría? Por favor, tenga en cuenta que he tenido limitar la exposición a la categoría de teoría de la contigüidad, Yoneda...) y mucho menos la exposición a la más alta categoría de la teoría, de modo que una no demasiado técnico explicación sería apreciada.

Answer 1

Es fácil de definir estricto $n$-categorías (lo que significa que la composición es estrictamente asociativo en todos los niveles y así sucesivamente): si usted tiene una definición estricta de $n-1$-categoría, que acaba de definir estricto $n$-categorías a categorías enriquecido más estricto $n-1$-categorías. El problema es, primero, que muchos de los ejemplos naturales no son estrictas, aunque al $n = 2$ usted puede esperar strictify ellos, y lo que es más importante que cuando se $n \ge 3$ muchos ejemplos naturales no son strictifiable a todos.

Por ejemplo, lo que un $n$-categoría debe ser, cada espacio topológico debe tener una fundamental $n$-groupoid cuyos objetos son los puntos, cuyos morfismos son las rutas, cuyas $2$-morfismos son homotopies, y así sucesivamente. Este no es, naturalmente, un estricto $n$-groupoid (composición de los caminos ya no asociativa, pero sólo asociativo "hasta coherente mayor homotopy"), y al $n \ge 3$ por lo general no es strictifiable: resulta que strictifiability implica que Whitehead soportes de desaparecer, y así ya la fundamental $3$-groupoid de $S^2$ no es equivalente a un estricto $3$-groupoid.

La dificultad de definir $n$-categorías trata de averiguar todos los de la coherencia de los datos y las condiciones necesarias para definir débiles $n$-categorías, de modo que la captura de, al menos, $n$-groupoids que surgen en topología algebraica (ver también la homotopy hipótesis). Para tener una idea de lo difícil que esto es para hacer "a mano", véase, por ejemplo, Todd Trimble con la definición de un débiles $4$-categoría.

Incluso con estricto $n$-groupoids, la ingenua manera de definir qué es un functor es entre estos también logra captar topológico fenómenos: por ejemplo, cada grupo $G$ da lugar a una estricta groupoid $BG$ con un objeto y automorfismos $G$, y cada grupo abelian $A$ da lugar a un estricto $2$-groupoid $B^2 A$ con un objeto, uno de morfismos, y $2$-automorfismos $A$. El "correcto" conjunto de clases de equivalencia de morfismos $BG \to B^2 A$ es el segundo cohomology grupo $H^2(BG, A)$, pero el ingenuo descripción de un functor entre estricto $2$-groupoids no esta. El problema es que functors también puede ser tomado estrictamente preservar la composición, etc. pero también debe venir con la coherencia de los datos y las condiciones.

Answer 2

Como Qiaochu dijo, es todo acerca de la coherencia de los diagramas. El primer no-trivial es el pentágono axioma en la definición de una categoría monoidal, que también aparece en la definición de un (débil) $2$-categoría. Una excelente introducción a categorías superiores se da en

Juan Báez, James Dolan, Categorification, http://arxiv.org/abs/math/9802029

Si quieres profundizar más en el tema, es posible que quieras consultar

Tom Leinster, Mayor operads, categorías Superiores, http://arxiv.org/abs/math/0305049