Aquí está mi intento de solución: la expresión $\sqrt{n^2+2379}$ es natural iff $$n^2 + 2379 = x^2, \quad \mbox{ for some } x \in \mathbb{N}.$$
Por lo tanto, $$(x+n)(x-n)=2379=3 \cdot 13 \cdot 61.$$
Trato de representar a $2379$ como producto de dos números naturales, esto se puede hacer de cuatro maneras:
$$2379=(3 \cdot 13 )\cdot 61$$ $$2379=3 \cdot (13 \cdot 61)$$ $$2379=(3 \cdot 61)\cdot 13$$ $$2379=1 \cdot 2379 $$
La comparación de estas opciones a $(x-n)(x+n)=2379$ produce cuatro pares, ya que $$(x-n)(x+n) = ab \implies x=(a+b)/2, \ n= (a-b)/2, \quad \mbox{ assuming } a>b.$$
El cuatro $n$'s son, a continuación,$11,85,395,1189$. Es mi solución correcta? Hay una manera de hacer esto más teóricamente, sin saber explícitamente la factorización prima de $2379$?
