¿Por qué los fermiones tienen una ecuación de primer orden (Dirac) y los bosones una de segundo orden?

Question

¿Existe una razón profunda para que un fermión tenga una ecuación de primer orden en la derivada mientras que los bosones tienen una de segundo orden? ¿Esto implica diferencias teóricas profundas (como la dimensión del espacio de fase, etc)?

Entiendo que para un fermión, con espín semi entero, se puede formar otro invariante de Lorentz usando las matrices gamma $\gamma^\nu\partial_\nu$, que contraído con una derivada parcial son una especie de raíz cuadrada del D'Alembertiano $\partial^\nu\partial_\nu$. ¿Por qué no podemos hacer lo mismo para un bosón?

Finalmente, ¿cómo se trata esto en una teoría Supersimétrica? ¿Una partícula y su supercompañero comparten una ecuación del mismo orden o no?

Answer 1

Spin-1/2 admite ecuaciones de primer orden simplemente porque $ (\mathbf{1/2,1/2})\otimes (\mathbf{0,1/2}) $ contiene la representación $(\mathbf{1/2,0})$ de manera que se puede escribir una ecuación lineal para partículas libres (es decir, contiene una derivada que actúa sobre un campo y devuelve un campo). El primer término en el producto es la derivada que se transforma como un vector de Lorentz $(\mathbf{1/2,1/2)$), mientras que $(\mathbf{0,1/2})$ y $(\mathbf{1/2,0})$ son espinors zurdos y diestros respectivamente. Los coeficientes de Clebsch-Gordan no son más que las matrices gamma.

Claramente lo mismo está prohibido para los espines enteros. Para un escalar es trivial. Para un campo de espín-1 $(\mathbf{1/2,1/2})$ se tiene que $( \mathbf{ 1/2, 1/2}) \otimes ( \mathbf{1/2,1/2}) $ no contiene $(\mathbf{1/2,1/2})$, y así sucesivamente para espines enteros más altos. Básicamente es la estructura de grupo de la simetría de Lorentz lo que prohíbe ecuaciones de primer orden para los espines enteros.

Answer 2

Has tocado la exacta superficialidad que empuja a las personas hacia las teorías de supersimetría. No hay nada fundamentalmente absoluto acerca de una ECO de segundo orden que rige la evolución dinámica de una "partícula". Al cuadrar tu ecuación de Dirac, obtienes una ECO de segundo orden (KG), pero la primera sigue siendo más iluminadora y contiene tanta información como la última. De hecho, el requisito de spin y dimensionalidad (N=4, caso más simple realizable) sigue naturalmente cuando adoptas una perspectiva crítica hacia una ECO de segundo orden (que le dio a Dirac, densidades de probabilidad que no eran definitivamente positivas y que no tenían sentido físico, a menos que empieces a inventar nuevas conjeturas (ej. teoría de los agujeros)). (Conoces estas historias, ¿verdad? De lo contrario, lee Bjorken, Drell - eso no será demasiado detallado, pero justo lo suficiente).

Tomemos el caso más simple N=4 (que es la dimensión más baja en la que se puede realizar esa estructura de grupo. Pero por supuesto, hay dimensiones más altas posibles.) Podemos hacer 'sentido' físico de esta dimensionalidad al reconocer que los cuatro componentes del bi-espinor llevan información sobre (spin arriba, spin abajo) * (energía positiva, energía negativa) partes. Pero de nuevo, esa dimensionalidad fue forzada por la estructura de grupo y NO es un asunto de ninguna distinción fundamental entre una partícula con spin y una partícula sin spin. Al cuadrar la parte operacional de la ecuación de Dirac, obtendrás una ECO de segundo orden para cada uno de estos componentes.

Por lo tanto, toda esta formulación crea esta impresión engañosa de que la dimensionalidad del espacio crea alguna distinción fundamental entre fermiones y bosones. Cómo se trata esto en SUSY es demasiado detallado para ser mencionado aquí (además, matará la diversión, cuando finalmente lo aprendas leyendo un libro de texto). Recomiendo sinceramente el libro de SUSY de W. Seigel y solo te dejaré con un avance - no solo no hay una distinción absoluta entre fermiones y bosones, el espectro es mucho más rico; ¿alguna vez has oído hablar de 'anyons'? Está bien, lo descubrirás a su debido tiempo. Feliz aprendizaje :)

PD - Como todo físico concienzudo, te dejo con una ADVERTENCIA. SUSY es una teoría hermosa, podría ser un gran paso en la dirección correcta si se prueba que es correcto. PERO NO LA TRATES COMO SI FUERA UNA BIBLIA, HASTA QUE HAYA EVIDENCIA EXPERIMENTAL A FAVOR DE ELLA, no importa lo hermosa que pueda ser.

Answer 3

Permítanme señalar que la ecuación de Dirac es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden (PDE) para 4 componentes del espinor. Se puede presentar la ecuación de Klein-Gordon como un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para 5 incógnitas ($\psi$ y sus derivadas parciales con respecto a $t,x,y,z$: $u=\psi_{,t}$,$v=\psi_{,x}$,$w=\psi_{,y}$, $r=\psi_{,z}$. Por otro lado, la ecuación de Dirac es generalmente equivalente a una ecuación de cuarto orden para una incógnita (ver mi artículo http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYSICS 52, 082303 (2011))

Answer 4

Permítanme dar una respuesta que encuentro muy buena y basada en un pequeño libro de mecánica cuántica relativista (Mecánica Cuántica Relativista, S Trahanas, en griego)

Primero se puede comenzar con los datos conocidos de las partículas con espín integral (llamadas bosones, que obedecen la estadística de Bose-Einstein) y las partículas con espín semi-integral (llamadas fermiones, que obedecen la estadística de Fermi-Dirac o el principio de exclusión de Pauli)

Luego se puede intentar encontrar una ecuación cuántica relativista (efectivamente una ecuación de Schrödinger compatible con la relatividad especial). Se puede notar que la ecuación de Schrödinger ordinaria (libre)

$$\hat{H}\psi=ih\frac{\partial \psi}{\partial t}$$

con un hamiltoniano de la forma $H=\hat{p}^2/2m$ reproduce la relación clásica de energía-momento $E=p^2/2m$ que no es relativista.

Luego se puede usar la misma asociación de variables canónicas en operadores pero en la relación energía-momento relativista $E^2=m^2 + p^2$ (1) (tomando $c=1), para derivar una versión relativista de la ecuación de Schrödinger.

Si uno hace eso en relación con (1), se obtiene la ecuación de Klein-Gordon. Esta ecuación es buena para bosones y la energía está limitada por debajo cuando los bosones se describen mediante esta ecuación.

Sin embargo, si uno intenta aplicar la ecuación de KG a los fermiones, surgen problemas. Para empezar, los fermiones que obedecen el principio de Pauli (y por lo tanto deben ser cuantificados con anti-conmutadores), hacen que la ecuación de KG tenga energía ilimitada por debajo (lo que es algo equivalente a un movimiento perpetuo).

El problema es que la relación (1) es de segundo orden en la Energía (por lo tanto, en forma de ecuación, es de segundo orden en la evolución temporal $\partial/\partial t$).

Dirac intentó resolver esto factorizando la relación (1) en esta forma (2):

$$E=\mathbf{\alpha} m + \mathbf{\beta} p$$

pero para que la relación (2) sea igual a la relación (1) cuando se eleva al cuadrado, $\mathbf{\alpha}$ y $\mathbf{\beta}$ no son números ordinarios sino algún tipo de matrices (específicamente matrices de Pauli). Así es como ingresamos en lo que se llama formalismo de espinors en la ecuación de Dirac, que es una ecuación cuántica derivada de la relación (2).

De hecho, la ecuación de Dirac puede describir fermiones (también conocidos como el principio de exclusión de Pauli, anti-conmutadores) y la energía está de hecho limitada por debajo.

Un artefacto es que la ecuación de Dirac describe 2 partículas y no una, ya que implica matrices/espinors. Eventualmente, esto llevó al descubrimiento del positrón (y antipartículas/antimateria).

Finalmente, la síntesis de la mecánica cuántica y la relatividad (junto con las antipartículas) condujo al formalismo de la Teoría Cuántica de Campos y el Teorema de Estadísticas de Espín, que relaciona teóricamente el espín de una partícula con el tipo de estadísticas que sigue (espín integral->estadísticas de Bose-Einstein, espín semi-integral->estadísticas de Fermi-Dirac)

Referencias:

1. PAM Dirac, The Quantum Theory of the Electron
2. PAM Dirac, The Quantum Theory of the Electron. Part II
3. PAM Dirac, A Positive-Energy Relativistic Wave Equation
4. PAM Dirac, A Positive-Energy Relativistic Wave Equation. II

Answer 5

Los fermiones obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac, mientras que los bosones siguen las estadísticas de Bose-Einstein. Esto es un hecho experimental y no podemos hacer nada al respecto. Encuentras su primera y más famosa evidencia en el principio de Pauli. Para mencionar algunos más, la condensación de Bose y el bloqueo de Fermi son un hecho de la ciencia cotidiana, e incluso tenemos confirmación de que la función de onda de un fermión cambia de signo después de una rotación de 360 grados. Estas cosas distinguen experimentalmente a los fermiones de los bosones.
La ecuación de Dirac incorpora todas las características fermiónicas en el juego. Lo hace en una ecuación diferencial de primer orden. Por otro lado, la ecuación de Klein Gordon incorpora todas las características bosónicas en el juego. Lo hace en segundo orden. No puedes obtener características fermiónicas de la ecuación de Klein Gordon o viceversa. Sobre esto, hay un párrafo interesante en el libro de Peskin&Schroeder en el capítulo 3.5: "Cómo no cuantificar el campo de Dirac: una lección en Espín y Estadísticas". Muestra que algo sale terriblemente mal si intentas cuantificar la ecuación de Dirac de la misma manera que cuantificas partículas bosónicas.

La estadística es lo que observamos, la estadística es lo que intentamos modelar.