Función de partición que contiene QM?

Question

Me estoy preguntando acerca de la función de partición de la clásica microcanonical conjunto. Contiene la constante de Planck y también un indistinguishability argumento acerca de las partículas estoy mirando y me parece que esta confuso por las siguientes razones:

Si describo por ejemplo un gas ideal el uso de la mecánica clásica, no hay ninguna razón por qué debo asumir que hay un problema de distinguir las moléculas de gas o por qué $\hbar$ debe ocurrir allí.

Quiero decir, ¿cómo podría la gente como Gibbs, etc. derivar esta ecuación si ellos no saben acerca de QM?

En cierto sentido, tiene que haber una razón por la que tenemos estos dos QM propiedades de allí y tal vez es sólo para obtener el límite de la QM derecho, pero es esto realmente la única razón para esto?

Me encantaría recibir un par de ideas acerca de este extraño definición de esta comunidad, con el fin de obtener las impresiones, ¿por qué el modelo de un (NVE) conjunto de esta manera?

Answer 1

Una nota a pie de página en la Wikipedia en realidad explica esto.

El $h$ que aparecen en la partición del espacio de fase es no constante de Planck, es simplemente el tamaño de un espacio de fase de la célula en la que no se distingue de los estados individuales más. Es un principio arbitrario. Puesto que la constante de Planck proporciona un natural de la escala por debajo de la cual no debemos aplicar una mentalidad clásica, hoy en día es a menudo llevado a ser constante, pero nada en el clásico formalismo requiere esto.

Estás en lo correcto en que éste influye en la entropía, ya que es

$$ S = k\ln(W)$$

con¹

$$ W = \frac{1}{h^n C} \int_{\text{phase space}}f(\frac{H - E}{\omega})$$

pero el logaritmo de la propiedad $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$ significa que este de baja de todas las diferencias de entropía, es decir, la elección de $h$ no tiene ningún impacto físico. El overcounting factor de $C$ depende de si el intercambio de partículas individuales/fase coordenadas de espacio y va a hacer una diferencia en la macrostate, y es $C = N!$ $N$ idénticos (en realidad no indistiguishable, clásicamente) de partículas.

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^{1Aquí, $n$ es el número de coordenadas generalizadas (el número de partículas en la habitual configuración), $f(\frac{H - E}{\omega})$ es un "indicador de función" de la Hamiltoniana $H$ que alcanza el máximo en$H = E$, con una anchura $\omega$ (para cualquier noción de ancho, por ejemplo, podría ser tomado como una Gaussiana o rectángulo de la función. A menudo, se $\omega \to 0$, dejando $f$ a la delta de Dirac $\delta(H - E)$, lo que significa que la integral, a continuación, se derrumba a la superficie de los objetos trazados por la ecuación de $H = E$ en el espacio de fase, que, por libre de partículas, es una esfera.}

Answer 2

Usted puede hacer la analogía con la teoría cuántica de campos, donde debido a la falta de una teoría microscópica, que se ven obligados a regularizar la teoría y la esperanza de ser capaz de eliminar la regularización de los parámetros mediante la absorción de ellos en un par de cantidades físicas (masa, carga, etc.).

Ahora, si usted comienza con la partición correcta función que toma en cuenta la correcta estadísticas (Fermi Dirac de Bose Einstein), que terminan con la de Maxwell Boltzmann estadísticas en la diluir el límite, donde se toma overcounting en cuenta por la N! en el denominador. Esta es una característica universal en la diluir el límite, porque la probabilidad de que dos partículas que ocupan el mismo estado se desvanece en este límite.

Así, se podría decir que Gibbs fue capaz de tener éxito, porque existe una teoría universal en el diluya la escala límite. Usted, a continuación, sólo tiene un parámetro de escala de la izquierda (h). En términos de h algunas cantidades como la entropía son infinitas, pero como el ACuriousMind señala en su respuesta, la entropía diferencias será independiente de h. Ahora esto no es cierto si se consideran los cambios que en un caso se han congelado grados de libertad (por ejemplo, los átomos en un sólido), y en el otro caso no (por ejemplo, un gas).