También he aprendido acerca de Frolicher-Nijenhuis soportes de Saunders' libro de los chorros, pero dudo que haya otro conserve su autoridad de referencia, además de Michor del libro y los papeles originales. No sé si esto es lo que el cartel original intención, pero he aquí mi manera de entender el vínculo entre el FN y la curvatura. En general, tienden a permanecer lejos de la plena generalidad de la FN soporte, y utilice solamente los (axiomático), propiedades que necesito...
Deje $\pi: E \rightarrow M$ ser un haz de fibras. Un Ehresmann conexión es un subbundle $H$ $TE$ tal que $H \oplus VE = TE$ donde $VE$ es la vertical del bulto. Indicar el proyector de $TE$ a $H$$h$. Saunders (y muchos otros autores) definir Ehresmann conexiones directamente en términos de paquete de mapas de $h$, ya que son más fáciles de trabajar, pero esto no importa.
Ahora, para introducir la curvatura, nos gustaría formalizar la idea de que la curvatura es el fracaso de "transporte paralelo" a conmutar, donde por supuesto no hemos de definir transporte paralelo correctamente. Sin embargo, es sólo un pequeño paso de la imaginación para adivinar que esta debe estar relacionada con la integrabilidad de $H$, yo.e.si $[h(X), h(Y)] \in H$ arbitrarias de campos vectoriales $X, Y$. El fracaso de dos horizontales campos vectoriales horizontal, de nuevo se mide por la expresión
$$
R(X,Y) = [h(X), h(Y)] - h([h(X), h(Y)]),
$$
y, de hecho, esto no es nada, pero Saunders' definición 3.5.13 de curvatura. Tenga en cuenta que $R(X, Y) = 0$ si $X$ o $Y$$VE$.
El Frohlicher-Nijenhuis soporte de dos lineal paquete de mapas es en general bastante complicado, pero si nos fijamos en la proposición 3.4.15 en Saunders, se obtiene que para un lineal paquete de mapa de $h: TE \rightarrow TE$,
$$
[h, h] (X,Y) = 2(h([X,Y]) + [h(X), h(Y)] - h([h(X),Y]) - h([X,h(Y)])).
$$
Ahora tenga en cuenta que el lado derecho es cero tan pronto como $X$ o $Y$$VE$, al igual que para las $R$. Si tanto $X$ $Y$ son horizontales, podemos aplicar la fórmula anterior a$X = h(X)$$Y = h(Y)$, y a la conclusión de que $[h, h] (X, Y) = 2( [h(X), h(Y)] - h([h(X), h(Y)]))$ (donde usamos la identidad de $h \circ h = h$ liberalmente), y así
$$
R = \frac{1}{2} [h,h].
$$
Si usted tiene un director haz de fibras, $h$ está relacionado con la conexión de un formulario de $\mathcal{A}$, y la fórmula anterior da la curvatura de $\mathcal{A}$ en términos de la covariante diferencial de $\mathcal{A}$. Para un simpléctica de conexión, sucede algo parecido.
Edit: he aquí cómo creo que funciona por el principal, los haces de fibras. Tomar una conexión de un formulario de $A: TE \to \mathfrak{g}$, y deje $\sigma: \mathfrak{g} \rightarrow VE$ ser el generador infinitesimal de la $G$-acción. La composición de la $v := \sigma \circ \mathcal{A}$ es, entonces, el proyector vertical de la conexión y $h := 1 - v$ es la horizontal. Ahora conecte esta expresión para $h$ en la fórmula para la curvatura:
$$
[h, h] = [1, 1] - [\sigma \circ \mathcal{A}, 1] - [1, \sigma \circ \mathcal{A}]
+ [\sigma \circ \mathcal{A}, \sigma \circ \mathcal{A}].
$$
El plazo $[1,1]$ es cero, y usted puede utilizar Saunders' la proposición 3.4.15 para mostrar que el término de 2 y 3 desvanecerse. El último término puede ser escrito como (de nuevo, con S3.4.15) como
$$
[\sigma \circ \mathcal{A}, \sigma \circ \mathcal{A}] (X, Y) =
2( (\sigma \circ \mathcal{A})^2([X, Y]) + [ (\sigma \circ \mathcal{A})(X), (\sigma \circ \mathcal{A})(Y)] - (\sigma \circ \mathcal{A})([(\sigma \circ \mathcal{A})(X), Y)]) - (\sigma \circ \mathcal{A})([X, (\sigma \circ \mathcal{A})(Y)])).
$$
Ahora, muestran que este se desvanece cuando $X$ o $Y$ es vertical, de modo que podemos tomar $X$ $Y$ a ser horizontal. En ese caso, lo anterior se simplifica a
$$
[\sigma \circ \mathcal{A}, \sigma \circ \mathcal{A}] (X, Y) = 2(\sigma \circ \mathcal{A})([X, Y])
$$
o
$$
R(X, Y) = (\sigma \circ \mathcal{A}) ([X^h, X^h])
$$
donde $X^h$ representa la parte horizontal de $X$. Pero $\mathcal{A} ([X^h, X^h])$ es sólo el negativo de la curvatura (un formulario con los valores en $\mathfrak{g}$)$\mathcal{A}$, por lo que
$$
R(X, Y) = -\sigma ( \mathcal{B}(X, Y) ).
$$
