Encontrar cocycles que la plaza a cero

Question

Supongamos $x$ es una clase que elijas en la singular cohomology (entero coeficientes) de un espacio de $X$. Estoy pensando principalmente de las clases de grado impar en un simplemente se conecta el espacio. ¿Cuáles son las condiciones necesarias (además de a $x^2=0$) para la existencia de un cocycle representando $x$ cuya taza-cuadrado es igual a cero como un cocycle? Condiciones suficientes?

Lleve a su selección de la forma precisa de la pregunta: se puede fijar un cochain modelo para la copa productos antes o después de la elección de $x$, o incluso permitir que un DGA cuasi-isomorfo a la singular cochains en $X$.

Usted puede sentirse inclinado a murmurar "Steenrod plaza" o "Massey producto" -, pero que, y por qué?

Answer 1

El triple producto $\langle x,x,x\rangle$ tiene que contener cero.

De hecho, si $a$, $b$, $c$ son impares cohomology clases que $ab=0$$bc=0$, para calcular el triple producto $\langle a, b, c\rangle$, uno escoge representante cocycles $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$, luego toma cochains $\delta$ $\eta$ tal que $\alpha\beta=d\delta$$\beta\gamma=d\eta$, y luego observa que el $\tau=\alpha\eta+\delta\gamma$ es un cocycle. A continuación, $\tau$ es un representante de $\langle a,b,c\rangle$ en un adecuado cociente de la cohomology de grupo que contiene la clase de $\tau$.

En su caso, supongamos que podemos representar a la clase $x$ por un cocycle $\xi$ tal que $\xi^2=0$. Entonces si tomamos $a=b=c=x$, podemos tomar $\alpha=\beta=\gamma=\xi$$\delta=\eta=0$, por lo que el$\tau=0$, $0\in \langle x,x,x\rangle$.

De hecho, todos los productos de Massey $\langle x,x,\dots,x\rangle$ ("Massey poderes"?) tiene que ser cero, similar a la computación---ver el libro de McCleary on espectral de las secuencias, en el capítulo 8, para una rápida descripción de estos.