ZF es casi finitely axiomatizable

Question

Quiero mostrar que hay un conjunto finito $\phi$ de los axiomas de la $ZF$, de tal forma que cada transitiva clase adecuada $M$, que satisface $\phi$, es ya un modelo de $ZF$.

Este es un ejercicio de Kunen de la teoría de conjuntos. No es una sugerencia, parece ser útil para aplicar el principio de Reflejo a la unión de $M = \cup_{\alpha} M \cap R(\alpha)$. Pero no sé con que los axiomas podemos hacer que (sólo podemos utilizar un número finito!), y por qué esto produce un ordinal que es independiente de $M$. Por favor, dame sólo una sugerencia, porque en el fondo quiero resolver esto por mi cuenta, pero no sé cómo empezar, con la sugerencia anterior.

También, ¿cuál es la "filosófica" razón por la que no podemos deducir de esto, que $ZF$ es finitely axiomatizable (que está mal)? Me refiero a que no puede demostrar que esta $\phi$ anterior demuestra todo axioma, pero también hay una razón más profunda para esto?

EDIT: No había una respuesta con algunos consejos, pero fue eliminado... Todavía no sé cómo producir esta extraña frase $\phi$.

Answer 1

Supongamos que $M$ satisface todas las cosas fáciles como extensionality, de emparejamiento, etc., además de $\Delta_0$ separación y supongamos también que $M$ piensa que para cada ordinal $\alpha$ que $V_\alpha$ existe (es decir, $V_\alpha^M$ existe en $M$). Todo esto es expresable mediante un único axioma, pero al $M$ es una clase adecuada, se asegura que la $M$ satisface la totalidad del esquema de Recolección, debido a que para cualquier fórmula $\varphi(x,y)$ y establezca $A\in M$ para los que queremos recoger, podemos aplicar la Colección en $V$ encontrar un ordinal $\alpha$ de manera tal que siempre que $a\in A$$\exists y\varphi(a,y)$$M$, a continuación, como un $y$ puede ser encontrado en $V_\alpha$ y, por tanto, en $V_\alpha^M$. Por lo tanto, $V_\alpha^M$ sirve como un conjunto de recopilación dentro de $M$. Del mismo modo, uno puede obtener la Separación total en $M$ $\Delta_0$ Separación (o mucho menos, si se puede optimizar), aplicando el teorema de Reflexión, que permite atado a todos los cuantificadores por una adecuada grandes $V_\alpha^M$.

El argumento sólo funciona al $M$ es una clase adecuada, sin embargo, debido a que apela a la Colección en $V$, y utiliza ese $M$ crece más alto que la resultante de un conjunto de recopilación. Este método podría romper completamente al $M$ es un conjunto, ya que el conjunto de recopilación en $V$ podría ser ilimitado en la $M$.