Calcular el $\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+4})$

Question

Estoy tratando de calcular de la siguiente serie:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$

y me las arreglé para reducir a este término

$$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+4})$$

Y aquí estoy atascado. Traté de escribir un par de sumas parciales pero no puedo ver el patrón, $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+...$ me parece que no puede encontrar un cerrado fórmula que nos permite calcular para $S_n$

¿Cómo hago para resolver esta pregunta

Answer 1

Sugerencia: $$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1/2}{n(n+1)}-\frac{1/2}{(n+1)(n+2)}$$

Answer 2

Considere la posibilidad de

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n (n+1)(n+2)} $$

Entonces

$$f''(x) = -\log{(1-x)}$$

$$f'(x) = (1-x) \log{(1-x)} +x $$

$$f(x) = -\frac14 [x (2-x) - 2 (1-x)^2 \log{(1-x)}] + \frac12 x^2$$

La suma es entonces $f(1) = 1/4$.

Answer 3

Sus sumas parciales son los mismos que los de $\frac 1 2 H_n-H_{n+1}+\frac 1 2 H_{n+2}$ menos algunos términos. Encontrar los términos y el uso de los armónicos sumas tienden a 0 en el límite. La respuesta es $1/4$. De manera más general, lo que ocurre es que $$\binom{n+k-1}{k}^{-1}=\frac{k!}{n(n+1)\cdots (n+k)}=\sum_{j=0}^k \binom kj \frac{(-1)^j}{n+j}$$

Esto significa que $$\sum_{n=1}^N\binom{n+k-1}k^{-1}=\sum_{j=0}^k\binom kj(-1)^j (H_{N+j}-H_j)$$

Usando esto y el hecho de que $\sum_{j=0}^k\binom kj(-1)^{j+1} H_j=\frac 1 k$ uno se $$\sum_{n\geqslant 1}\binom {n+k-1}k^{-1}=\frac 1 k$$

o $$\sum_{n\geqslant 1}\frac {1}{n(n+1)\cdots (n+k)}=\frac 1k\frac 1 {k!}$$

Answer 4

$$\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+4}=\\\frac{1}{2n}-\frac{2}{2n+2}+\frac{1}{2n+4}=\\(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2})+(-\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+4})=\\(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2})-(\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+4})=\\\frac{1}{2}((\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})-(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}))=\\ $$