Acabo de terminar de corregir mi respuesta en la visualización de la trenza de los grupos fundamentales de los grupos de la configuración de los espacios, y en el proceso se convirtió interesado en el otro pictórica definición de la trenza de grupo $B_n$, es decir, como la asignación de la clase de grupo de la $n$-perforado cerrado de la unidad de disco.
Algunas definiciones. Si $X$ es un espacio topológico, vamos a $F_n(X)$ ser el subespacio de $X^n$ consta de tuplas con distintas coordenadas, en el que el grupo simétrico $S_n$ hechos por permuting coordenadas y, a continuación, definir el cociente $SF_n(X):=F_n(X)/S_n$. La trenza grupo de $X$ se define como el grupo fundamental de la $B_n(X):=\pi_1(SF_n(X))$. Nota: $B_n=B_n(\Bbb C)$ es el habitual de la trenza de grupo.
El automorphism grupo ${\rm Aut}(X)$ es el grupo de homeomorphisms $X\to X$ que fijar su límite de $\partial X$ pointwise. Denotar por ${\rm Aut}_0(X)$ los automorfismos que son isotópicas para el mapa de identidad. La asignación de la clase de grupo es ${\rm Mod}(X):={\rm Aut}(X)/{\rm Aut}_0(X)$.
Denotar por $\overline{{\Bbb D}^2}$ el cerrado de la unidad de disco. A continuación, $B_n(\Bbb C)\cong {\rm Mod}(\overline{\Bbb D^2}-\{x_1,\cdots,x_n\})$ para cualquier elección de $n$ puntos distintos. Me parece obvio que $B_n(\Bbb C)=B_n(\overline{\Bbb D^2})$, que inspira a la pregunta:
- Para qué tipos de superficies/colectores no $B_n({\cal S})={\rm Mod}({\cal S}-\{x_1,\cdots,x_n\})$?
Y esto nos lleva a la gran pregunta:
- ¿Cuál es la relación general entre la trenza de grupos y asignación de los grupos de la clase?
Lo siento si estos hechos son bien conocidos en algún lugar. (Yo soy bastante nuevo para homotopy la teoría y la topología algebraica, en general, demasiado, así que yo podría ser un poco lento. Es posible que yo soy de morder más de lo que se supone que debo ser la masticación.) Aquí está mi probabilidades de argumento no válido:
La reclamación. ${\rm Mod}({\cal S}-\{x_1,\cdots,x_n\})=B_n({\cal S})$ "agradable" espacios de $\cal S$.
La "prueba". Suponga ${\rm Aut}(S)$ actúa transitivamente sobre $n$-subconjuntos de a ${\cal S}$. (Intuitivamente se siente como esto debe seguir automáticamente a partir de $\cal S$ ser homogénea, es decir, ${\rm Aut}({\cal S})$ sólo actúa transitivamente sobre $\cal S$ sí, por acordonando fuera un nbhd alrededor de cualquier $n$ de los puntos, pero no he probado la prueba.) Debemos ser capaces de identificar a ${\rm Aut}({\cal S}-\{x_1,\cdots,x_n\})$ ${\rm Stab}_{{\rm Aut}({\cal S})}(\{x_1,\cdots,x_n\})$ el setwise (no pointwise) estabilizador. Por la órbita-estabilizador de teorema, tenemos
$${\rm Aut}(S)/{\rm Stab}_{{\rm Aut}(\cal S)}(\{x_1,\cdots,x_n\})\cong SF_n({\cal S}) $$
Así que para conseguir $B_n({\cal S})$ aplicamos $\pi_1$ a la izquierda. Aquí invoco un lema:
Lema. Si $G$ está conectado, simplemente conectado, $H$ a un subgrupo, y $H^\circ$ el componente conectado de la identidad en $H$, $\pi_1(G/H)\cong H/H^\circ$ través $[\gamma]\mapsto\gamma(1)H^\circ$.
Si aplicamos con $G={\rm Aut}({\cal S})$ $H={\rm Stab}_{{\rm Aut}({\cal S})}(\{x_1,\cdots,x_n\})$ $H/H^\circ$ debe ser el grupo identificado ${\rm Aut}({\cal S}-\{x_1,\cdots,x_n\})$ modulo isotopía, es decir,${\rm Mod}({\cal S}-\{x_1,\cdots,x_n\})$, no?
Mi argumento debe tener problemas, porque en la demanda no funciona para ${\cal S}=\Bbb C$: según tengo entendido, en cambio tenemos que $\Bbb C\cong\Bbb S^2-\{\rm pt\}$ ${\rm Mod}({\Bbb C}-\{x_1,\cdots,x_n\})$ es un subgrupo de $B_{n+1}(\Bbb S^2)$ con elementos que tienen una cadena de marcado siempre trivial, y esto parece como un grupo diferente.
