Autovalores y la potencia de una matriz

Question

Deje $A$ ser un n×n matriz de autovalores $\lambda_i, i=1,2,\dots,n$. Entonces $\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k$ son los autovalores de a $A^k$.

1. Me preguntaba si $\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k$ son todoslos los autovalores de a $A^k$?
2. Son los geométricos y algebraicos multiplicidades de $\lambda_i^k$ $A^k$ mismos que los de $\lambda_i$ $A$ respectivamente?

Gracias!

Answer 1

Los poderes de los autovalores son, de hecho, todos los autovalores de a $A^k$. Me limitaré a $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ por razones de brevedad.

La multiplicidad algebraica de la matriz de hecho se conservan (hasta la fusión de como se señaló en los comentarios). Una forma sencilla de ver esto es con la matriz de $\mathbb{C}$ donde el mínimo polinomio se divide. Esto significa que la matriz es triangularizable. El espectro de la matriz aparecen en las diagonales de la triangularized de la matriz y de los sucesivos poderes de alterar los valores propios en consecuencia.

Geométrica de la multiplicidad no es tan fácil de responder. Considere la posibilidad de un nilpotent matriz $N$ cual es, en general, no diagonalizable sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. Pero finalmente, nos va a golpear $N^k = 0$ que es trivialmente diagonal.

Esto se puede generalizar: La multiplicidad geométrica de $0$ siempre va en aumento a la multiplicidad algebraica de $0$ suficiente de iteraciones, esto es debido a que el cero bloques de Jordan de una matriz es nilpotent y finalmente combinar con suficientes poderes.

Para los no-cero autovalores, esto es un poco diferente. Considere la posibilidad de la iteración de la generalizada subespacios propios de a $A^k$ dada por $$(A^k-\lambda^kI)^i\mathbf{v}$$ para las sucesivas potencias de $i$. La diferencia de poderes por encima de divisiones en el $k$th raíces de $\lambda^k$ da como $$[P(A)]^i(A-\lambda I)^i\mathbf{v}$$ donde recopilamos los otros $k$th raíces de un polinomio $P(A)$. Observe que si la matriz no contiene dos distintas $k$th raíces de $\lambda^k$ $P(A)$ es, de hecho, es invertible. Esto significa que $$[P(A)]^i(A-\lambda I)^i\mathbf{v} = \mathbb{0} \iff (A-\lambda I)^i\mathbf{v} = \mathbb{0}$$ Tenga en cuenta que esto sigue siendo cierto para cada generalizada espacio propio, incluso si no son distintos autovalores, que comparten un $k$th el poder, porque la asignación de $(A-\lambda I)$ restringido a la generalizada subespacio propio de otro autovalor es inyectiva.

Esto significa que los vectores propios generalizados de $A$ siendo generalizada vectores propios de a $A^k$ bajo la misma altura. Más precisamente, esto implica que las estructuras de la generalizada subespacios propios son idénticos y por lo que la matriz de potencia $A^k$ tiene el mismo Jordan formulario para que autovalor $A$. De ello se desprende que la dimensión de la regular autoespacio también se conservan, por lo que la multiplicidad geométrica es estable.

En Resumen:

1. El espectro es cambiado como se esperaba a la $k$th poderes.
2. Las multiplicidades algebraica de los valores propios poderes se conservan. Si los autovalores de mezcla, a continuación, sus multiplicidades se agregan.
3. La multiplicidad geométrica de $0$ aumentarán a la multiplicidad algebraica. El geométrica de multiplicidades de otros autovalores son retenidos. De nuevo, si no hay fusión, a continuación, las multiplicidades se fusionan.

Answer 2

Me siento como debo mencionar de este teorema. Se olvidó de su nombre, pero creo que es uno de los espectral de teoremas. Se dice que si $\lambda$ es un valor propio de una matriz a y $f(x)$ es cualquier analítica de la función, a continuación, $f(\lambda)$ es un autovalor de a $f(A)$. Así que incluso $\sin(A)$ tienen $\sin(\lambda)$ como sus autovalores.

En su caso, tome $f(x)=x^k$ y, a continuación, se aplican a todos los autovalores. Así que sí, $\lambda_n^k$ son todos de los autovalores.