Avanzados de Álgebra Lineal cursos en escuelas de posgrado

Question

Después de estudiar general de un curso de álgebra lineal, żcómo sería un curso de álgebra lineal avanzada difieren de la general del curso?

Y sería un curso de álgebra lineal avanzada se enseña en las escuelas de posgrado?

Answer 1

En mi [licenciatura] universidad [que fue en la Universidad de Cincinnati, en el momento de este post], la primera de álgebra lineal de la secuencia que se enseña a los estudiantes de segundo año. Es sobre todo computacional. Todo lo que tiene lugar en los reales y los números complejos. La clase comienza con la reducción de la fila, y que culmina con la búsqueda de los determinantes y los valores propios. No recuerdo en qué libro utilizamos para esto, pero es terrible y la clase es muy fácil.

Más tarde, los estudiantes son animados a tomar un "resumen" de álgebra lineal, que se centra en resumen espacios vectoriales (a pesar de que todos ellos son asumidas a través de los campos de la característica $0$), producto interior espacios, formas cuadráticas, lo que demuestra el teorema espectral, y culmina con la forma canónica de Jordan y la teoría de conjuntos convexos. Para ello podemos utilizar Lang del álgebra lineal. Se pone más énfasis en el teorema espectral que nada, con Jordan en la forma y conjuntos convexos sólo si la clase se mueve lo suficientemente rápido, así que hay tiempo.

Finalmente, después de que un estudiante ha tomado el alto nivel del álgebra abstracta de la secuencia (con los fundamentos de grupos, anillos y campos), se puede optar por tomar el graduate algebraica de las estructuras de clase, en el que el módulo de teoría, más avanzado el anillo de la teoría, y algunos teoría de la representación están cubiertos. Para esta clase utilizamos Dummit y Foote (y cualquiera de los otros libros que tenemos ganas). [En mi la titular de universidad de la Universidad de Florida, anillo básico y el módulo de teoría se realiza en el primer año de cursos de posgrado, también el uso de Dummit y Foote. Álgebra multilineal (tensores) y la más avanzada anillo de la teoría son cubiertos durante el semestre de primavera del segundo año de postgrado de álgebra, que simultáneamente utiliza Lang, Hungerford, y Matsumura.]

He escuchado que otras universidades ofrecen cursos de posgrado en estricta avanzados de álgebra lineal. Un ejemplo de un libro que puede utilizar es Romano, que he utilizado como referencia muchas veces, y debo decir que me gusta mucho.

Answer 2

Primero de todo, no está claro lo que es un curso avanzado en álgebra lineal, ya sea de pregrado o de posgrado nivel consta de. Realmente depende de lo que el primer curso consta de y esto varía enormemente de la universidad a la universidad, dependiendo de los antecedentes y trayectorias de carrera de los estudiantes, pero los objetivos del instructor. Puede ser en gran medida aplicada curso donde el rigor de los teoremas sobre transformaciones lineales y espacios vectoriales abstractos son o han evitado o minimizado, tales como los basados en Gilbert Strang los libros de texto. También puede ser una muy abstracto curso donde las aplicaciones son apenas mencionados, y la fina estructura teórica de finito dimensionales espacios vectoriales es desarrollado en detalle, tales como Axler, Halmos' o Hoffman/Kunze los libros de texto. Y hay libros de texto que intenta dirigir un curso medio entre los 2 extremos, el desarrollo de la teoría y la aplicación más o menos en la misma medida. El ejemplo clásico de este tipo de curso es el de Charles Curtis' libro de texto.

Estoy bastante simpático para el último tipo de libro de texto - encontrar tanto en el plano teórico y aplicado de los lados de álgebra lineal para ser de igual importancia en el desarrollo de la asignatura en el máximo de utilidad tanto para los matemáticos y científicos.

Entonces de nuevo, no se que corte y secado a menudo, la frecuencia real de los cursos de álgebra lineal se resisten a esa clasificación simple - por lo tanto, los cursos avanzados de seguimiento de dichas clases será aún más difícil de construir. Gilbert Strang es justamente célebre curso en el MIT, por ejemplo, es un curso construido alrededor de las aplicaciones del álgebra lineal a problemas del mundo real. Pero es apenas un plug-and-chug, sin sentido algoritmo curso: Strang analiza cada aplicación y el algoritmo, así como la teoría detrás de ella, a fondo. Pero, al mismo tiempo, no es realmente un resumen curso de matemáticas de la forma en que nos describen los profundos teoremas y pruebas de álgebra lineal, mientras que no se omite, en realidad no son el núcleo de las preocupaciones de la clase. Para Strang, el resumen de la teoría del álgebra lineal es realmente el dominio de un resumen del curso de algebra. (De hecho, Strang del curso se ha diseñado en parte para proporcionar un dominio de los aspectos computacionales de álgebra lineal necesarios para que los estudiantes del MIT para ir a la eficacia del estudio moderno de álgebra en Micheal Artin del igualmente famoso, por supuesto!). Sin embargo, este es el MIT estamos hablando apenas el promedio de su programa con el promedio de las matemáticas de las especializaciones.

En mi experiencia, lo que la mayoría de la gente quiere decir cuando dicen "avanzados de álgebra lineal", que significan el resumen de la teoría de los operadores lineales en el contexto de la moderna álgebra. En la mayoría de las universidades, este material está cubierto en serio álgebra abstracta cursos en cualquiera de los honores grado o de primer año de nivel de postgrado. Esto significa que el estudio de R-módulos sobre anillos conmutativos en el caso especial donde R es un conmutativa de la división de anillo es decir, un campo. Esto significa que los módulos, álgebras de más de R, submódulos, R-módulo de mapas, producto de los espacios, el Jordan-Titular teorema, tensor de productos, dual espacios, libres de módulos y tal vez algunos elementales de álgebra homológica. Como he dicho, este es generalmente cubierto en el estudiante del primer sustancial de un año curso de álgebra, ya sea de pregrado o de posgrado.

También en mi experiencia, no en general, no es una "avanzada álgebra lineal" de la clase para que los estudiantes avanzados de pregrado o posgrado. Pero no son excepciones. Por ejemplo, Peter Lax del álgebra lineal libro está basado en un curso de postgrado sobre el tema que él enseñó allí por muchos años, diseñados para llevar a los entrantes de los estudiantes de posgrado en la NYU que son débiles en álgebra lineal hasta la velocidad para un segundo año de análisis funcional de curso. Lax se sintió frustrado con el anémico habilidades básicas de álgebra lineal la mayoría de los estudiantes de posgrado en la NYU y había diseñado este curso para rectificar esta muy perjudicial lagunas en su formación.

Si estás buscando un texto que se centra exclusivamente en el resumen de la teoría de operadores lineales, el mejor libro es, probablemente, el Módulo de Teoría: Una Aproximación Al Álgebra Lineal T. S. de Blythe. EL libro sobre el tema y, por desgracia, fuera de impresión y difícil de encontrar. He aquí a Dover vuelve a publicarlo.

Espero que conteste a su pregunta.

Answer 3

Diferentes universidades se enseñan diferentes cosas bajo el título "avanzados de álgebra lineal", y a diferentes niveles. Sugiero que vayas a un par de sitios web de las universidades y ver lo que tienen que ofrecer y cuál es el contenido.

En mi universidad, nos enseñan una de 3er año undergarduate supuesto que es la mitad de la Teoría de Galois, la mitad de Álgebra Lineal Numérica. La Universidad De Macquarie, Matemáticas 338.

Answer 4

Para responder a su pregunta de manera sucinta, un primer curso de álgebra lineal debe cubrir el básico de herramientas computacionales: reducción de la fila, los factores determinantes, y autovalores. Más avanzado el curso debería obligar a los estudiantes a venir a los términos con más lenguaje abstracto (espacios vectoriales sobre un campo arbitrario), y debe contener un sofisticado tratamiento del teorema espectral. En un mundo ideal sería también introducir el álgebra multilineal y/o las formas canónicas, pero estos temas son a menudo reservada para los cursos de posgrado (a menudo en el contexto de los anillos y módulos).

En la práctica, existe una gran brecha entre avanzados de pregrado y postgrado de álgebra. Esto puede conducir a las extrañas circunstancias en las cuales los estudiantes aprenden sobre el tensor de productos en un curso de geometría diferencial o la forma canónica de Jordan en un número de la teoría del curso. Recomiendo que los estudiantes de pregrado de tomar como mucho de álgebra lineal como sea posible, dado que una buena programas de posgrado que se asumen a menudo que los estudiantes saben más de álgebra lineal que se hace en la práctica.