¿Qué es el diagrama de Coxeter para?

Question

Entiendo que Coxeter diagramas se supone que para comunicar algo acerca de la estructura de los grupos de simetría de los poliedros, pero estoy desconcertado acerca de lo que algo es, o por qué el Coxeter diagrama es más claro, más sencillo, ni más útil que una más explícita la notación. La información en la Wikipedia no ha ayudado a mí.

Wikipedia me dice, por ejemplo, que el Coxeter diagrama de un cubo es , pero no entiendo por qué es esto, en cualquier dirección; no entiendo tampoco cómo se podría calcular la Coxeter diagrama de un conocimiento de la geometría del cubo, o cómo se podría obtener a partir de la Coxeter diagrama para una comprensión de las propiedades geométricas de el cubo.

Tengo entendido que los tres puntos son tres reflexión simetrías, y que la mutua de los ángulos entre los tres planos de reflexión que se supone son de $45^\circ, 60^\circ, $ y $90^\circ$, pero no puedo conectar esto con nada sé acerca de simetría cúbica. Ni entiendo por qué es vâzıhı para denotar estos ángulos, respectivamente, con una línea marcada con un 4, sin marcar una línea, y una línea que falta.

Mis preguntas son:

• Cuál es la información que Coxeter diagrama de la comunicación?
• ¿Por qué es útil esta información? ¿Cómo se relaciona mejor conocidas propiedades geométricas? ¿Cuáles son las aplicaciones del diagrama?
• Lo que lo hace una buena notación? Se utiliza por su concisión, o porque es fácil de calcular, o por alguna otra razón?
• Donde es un buen lugar para empezar a entender esto?

Answer 1

Considere un sistema de raíces $(\Phi,E)$. Dejamos que cada raíz es un nodo, y que no sea $\langle a_i,a_j\rangle\langle a_j,a_i\rangle$ aristas entre los nodos $a_i$ y $a_j$. El diagrama resultante se denomina corteza diagrama asociado a la raíz del sistema $(\Phi,E)$. Sabemos que $(\Phi,E)$ es ortogonal suma de irreductible sistemas de raíces. Cada irreductible sumando está en correspondencia 1-1 con los componentes conectados de la corteza diagrama.

Además, cuando hay varias aristas entre dos nodos, se le añade una flecha para indicar que uno es una larga raíz, que es breve. A continuación, el diagrama resultante es llamado un diagrama de Dynkin. Diagrama de Dynkin completamente determinar el sistema de la raíz hasta el isomorfismo.

Los diagramas de Dynkin han sido clasificados, líder de la clasificación de los sistemas de raíces. Además, se lleva a la clasificación de finito dimensionales semisimple Mentira álgebras de más de $\mathbb{C}$, que se denota en la siguiente por $\mathfrak{g}$. (El campo puede ser cualquier char 0 algebraicamente cerrado de campo). Además es obvio que conduce a la clasificación de finito dimensionales conectado semisimple Mentira grupos de más de $\mathbb{C}$.

Por otra parte, vamos $H$ ser el diagrama de Dynkin correspondiente a la semisimple Mentira álgebra $\mathfrak{g}$. A continuación, el diagrama de Dynkin automorfismos Aut($H$) pueden ser incorporados isomorphically en Aut($\mathfrak{g}$), la imagen en el exterior automorphism grupo. Hemos Aut($\mathfrak{g}$) = Inn($\mathfrak{g})\rtimes$ ($\mathfrak{g})\cong$ Inn($\mathfrak{g})\rtimes$ Aut($H$).