cómo calcular el anillo de cohomología del grassmanniano G(4,2)

Question

Necesito calcular el anillo de cohomologías sobre los enteros del complejo grassmanniano G(4,2).

Según tengo entendido, se pueden utilizar las celdas de Schubert y la homología celular para demostrar que los grupos de homología de G(4,2) son abelianos libres con bases correspondientes a las celdas de Schubert adecuadas. Y los grupos de cohomología tienen la misma estructura, ¿estoy en lo cierto?

Ahora - quiero entender cómo es el producto de la copa en este caso sin usar algunas fórmulas generales (como la de Pieri o la de Giambelli) que parecen ser difíciles de probar. ¿Cómo puedo hacerlo? No entiendo cómo se pueden calcular los productos de copa utilizando la cohomología celular. Gracias.

Answer 1

No sé, cómo se puede calcular el producto para la cohomología celular, tal vez usando algunos trucos.

En el caso del grassmanniano complejo $G(4,2)$ Las células de Schubert te dan eso $H^0=H^2=H^6=H^8=\mathbb Z$ y $H^4=\mathbb Z^2$ (los demás son cero). Definir sus generadores por $a_2,a_4,a_4',a_6$ y $a_8$ . Algún teorema sobre la cohomología de una variedad (no recuerdo el nombre) nos da $a_2\cdot a_6=a_8$ . Y considerando el subespacio celular $\mathbb CP^2=G(3,2)\subset G(4,2)$ muestra que $a_2^2=a'_4$ .

[En lugar de esto se puede escribir una secuencia espectral para $U(2)$ -fibración $V(4,2)\to G(4,2)$ ]

Para demostrar que $a'_4\cdot a_4=0$ considerar dos Schubert $4$ -células de $G(4,2)$ para la base $v_1,v_2,v_3,v_4\in\mathbb C^4$ se definen como conjuntos de hiperplanos $\langle sv_1+v_2,\,tv_1+v_3\rangle$ y $\langle sv_2+tv_3+v_4,\,v_1\rangle$ para parámetros complejos $s,t$ . Por lo tanto, los cociclos $a_4$ y $a'_4$ son de Poincare para los submanifolds $M':=\{W\in G(4,2):W\subset\langle v_2,v_3,v_4\rangle\}$ y $M:=\{W\in G(4,2):W\ni v_1\}$ (porque la celda de intersección con el submanifold correspondiente es transversal). $M\cap M'=\emptyset$ Por lo tanto $a'_4\cdot a_4=0$ , $a_2\cdot a_4=0$ . Obsérvese también que los índices de autointersección de $M$ y $M'$ son $1$ Por lo tanto $a_4^2=a_4'^2=a_8$ .

Así que, $H^*(G(4,2))=\mathbb Z[a_2,a_4]/(a_2^5,\,\,a_2\cdot a_4,\,\,a_4^2-a_2^4)$ .