Integral impropia con funciones trigonométricas

Question

Un colega mío se encontró con esta ecuación en un viejo examen: $$\int_0^{\pi}{\cos n\theta\over\cos\theta-\cos\phi}\,d\theta={\pi\sin n\phi\over\sin\phi}$$ En el examen se decía que los estudiantes podían asumir este resultado.

Mi colega (y yo) estaríamos muy agradecidos si alguien pudiera presentar una referencia o una prueba (o una refutación) de esta fórmula. Supongo que hay que suponer $n$ es un número entero positivo.

Answer 1

Voy a atacar este problema aquí porque a) esto nunca se cerró como un duplicado, y b) el enlace que se da en los comentarios de arriba es a un supuesto duplicado en el que la respuesta aceptada es lo suficientemente inútil como para no estar siquiera equivocada. Voy a demostrarlo.

Consideremos la siguiente integral de contorno:

$$\oint_C \frac{dz}{z^n} \frac{z^{2 n}+1}{z^2-2 z \cos{\phi}+1}$$

donde $C$ es el siguiente contorno:

$C$ es el círculo unitario orientado positivamente y deformado en $z=e^{\pm i \phi}$ por semicírculos de radios $\epsilon$ en el círculo de la unidad. Así, el único polo del integrando está en $z=0$ .

La integral de contorno es, por tanto, igual a

$$i \int_{-\pi}^{-\phi-\epsilon} d\theta \frac{\cos{n \theta}}{\cos{\theta}-\cos{\phi}} + i \epsilon \int_{\pi}^0 dt \, e^{i t} \frac{(e^{-i \phi}+\epsilon e^{i t})^n + (e^{-i \phi}+\epsilon e^{i t})^{-n}}{(e^{-i \phi}+\epsilon e^{i t})^2-2 \cos{\phi} (e^{-i \phi}+\epsilon e^{i t})+1} \\ +i \int_{-\phi+\epsilon}^{\phi-\epsilon} d\theta \frac{\cos{n \theta}}{\cos{\theta}-\cos{\phi}} + i \epsilon \int_{\pi}^0 dt \, e^{i t} \frac{(e^{i \phi}+\epsilon e^{i t})^n + (e^{i \phi}+\epsilon e^{i t})^{-n}}{(e^{i \phi}+\epsilon e^{i t})^2-2 \cos{\phi} (e^{i \phi}+\epsilon e^{i t})+1}\\ +i \int_{\phi+\epsilon}^{\pi} d\theta \frac{\cos{n \theta}}{\cos{\theta}-\cos{\phi}}$$

Ahora tomamos el límite como $\epsilon \to 0$ . En este límite, la segunda integral y la cuarta integral se anulan entre sí porque se acercan al valor

$$\frac{\pi \cos{n \phi}}{\sin{\phi}} - \frac{\pi \cos{n \phi}}{\sin{\phi}}$$

La integral de contorno también es igual a $i 2 \pi$ veces el residuo del polo $z=0$ . Así, tenemos

$$i PV \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \frac{\cos{n \theta}}{\cos{\theta}-\cos{\phi}} = \frac{i 2 \pi}{(n-1)!} \left [ \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \frac{z^{2 n}+1}{z^2-2 z \cos{\phi}+1} \right ]_{z=0}$$

En cuanto al término entre paréntesis, observamos que el $(n-1)$ La derivada de un producto de dos funciones es simplemente una expresión de tipo binomial:

$$\frac{d^{n-1}[f(z) g(z)]}{dz^{n-1}} = \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n-1}{k} \frac{d^k f(z)}{dz^k} \frac{d^{n-1-k} g(z)}{dz^{n-1-k}}$$

donde $f(z) = z^{2 n}+1$ y $g(z)=(z^2-2 \cos{\phi}+1)^{-1}$ . Nótese que, como estamos evaluando esta derivada en $z=0$ todos los términos derivados que implican $f(z)$ son cero. Como $f(0)=1$ nuestro residuo es simplemente

$$\frac1{(n-1)!} \left [ \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \frac{1}{z^2-2 z \cos{\phi}+1} \right ]_{z=0}$$

En este punto invoco el conocido función generadora del polinomio de Chebyshev de segundo tipo es

$$\frac1{z^2-2 x z+1} = \sum_{k=0}^{\infty} U_k(x) z^k$$

donde

$$U_k(\cos{\phi}) = \frac{\sin{(k+1) \phi}}{\sin{\phi}}$$

Así, podemos decir finalmente que

$$PV \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \frac{\cos{n \theta}}{\cos{\theta}-\cos{\phi}} = 2 \pi \frac{\sin{n \phi}}{\sin{\phi}}$$

y se obtiene el resultado indicado.

Ahora puedo explicar mi comentario "ni siquiera equivocado" de arriba. Si uno sigue la pista dada en la respuesta aceptada en la pregunta enlazada arriba, puede llegar a esta respuesta correcta. Sin embargo, esa sugerencia es un terrible consejo basado en un malentendido fundamental de las técnicas de integración de contornos. Las integrales de funciones que tienen polos en el contorno no están definidas a menos que se definan en el sentido del valor principal de Cauchy, como se ha hecho anteriormente. (Nótese aquí que por "PV" me refiero a evitar ambos polos). Sucede que las contribuciones de las piezas deformadas del contorno se anulan; la mayoría de las veces, seguramente no será así. Por eso la pista ni siquiera es errónea: porque, al tomarla, uno tropieza con el resultado correcto sin apreciar por qué.