Dejemos que $B$ sea el anillo graduado $\bigoplus_i B^i$ (con $B^k B^l \subset B^{k+l}$ ), y $B_f$ el grupo multiplicativo de todas las sumas formales $1 + b_1 + b_2 + \cdots$ donde $b_i \in B^i$ para todos $i$ .
La idea al hablar de géneros (como el género Todd o el $L$ género) es que podemos tomar $B$ para ser $H^{2 \bullet}(X,\mathbb{Q})$ por ejemplo, y luego un elemento típico de $B_f$ es algo así como la clase total de Chern.
Ahora un género corresponde a una secuencia multiplicativa $(K_n)$ donde cada $K_n$ es un polinomio en n variables sobre $B$ que es homogénea (con respecto a la graduación), de modo que $K_n(t x_1, t^2 x_2, \ldots, t^n x_n) = t^n K_n(x_1, \ldots, x_n)$ . Esto corresponde a la idea de que para un $n$ complejo dimensional, la evaluación de $K_n$ en la clase fundamental debe ser algún número, por lo que queremos que esta homogeneidad garantice que $K_n$ corresponde a algún elemento del grupo de cohomología superior.
Dado esto, podemos formar un elemento $K(b)$ en $B_f$ para cada elemento $b = 1 + b_1 + b_2 + \cdots$ de $B_f$ por $K(b) = 1 + K_1(b_1) + K_2(b_1,b_2) + \cdots$ .
Entonces la multiplicidad de la secuencia $(K_n)$ significa que $K(bc) = K(b)K(c)$ , que es lo que se querría en topología algebraica para obtener la multiplicatividad de los números que se obtienen, a partir de la multiplicatividad de las clases de Chern totales.
Ahora bien, todos los libros que he estado leyendo sobre esto dicen que hay una forma esencialmente única de asociar dicha secuencia multiplicativa a una serie de potencias formal, y que todas las secuencias multiplicativas provienen de ésta. Pero no entiendo precisamente cómo; ni siquiera sé sobre qué anillo debe definirse la serie de potencias formal y menos aún cómo se puede encontrar una secuencia multiplicativa a partir de ella.
Es bastante fácil cuando $B = H^{2 \bullet}(X,\mathbb{Q})$ y se trabaja con clases de Chern, ya que las clases de Chern de una suma directa de haces de líneas vienen dadas por los polinomios simétricos de las primeras clases de Chern. Entonces, dada una serie de potencias formal $Q(x) \in \mathbb{Q}[[x]]$ se puede formar el producto $\prod_i Q(x_i)$ en $\mathbb{Q}[[x_1, \ldots, x_n]]$ y obtener una secuencia multiplicativa como dice YBL en su respuesta, tomando $1 + \sum_j K_j = \prod_i Q(x_i)$ donde el $K_j$ se toman como polinomios en los polinomios simétricos elementales (es decir, las clases de Chern).
Pero no veo cómo se puede hacer esto sin apelar a esta descomposición (o de hecho en un entorno más general sin ninguna idea de las clases de Chern).
Por ejemplo, en Clases de características de Milnor y Stasheff, hacen la misma explicación que yo hice arriba, pero cuando llegan a la parte de las series formales de potencia parece que simplemente asumen $B = \Lambda[t]$ para algún anillo conmutativo $\Lambda$ y a partir de ahí pierdo la noción de lo que está sucediendo; esto me confunde bastante en cuanto a lo que está pasando.
