¿Cuándo está la función de distribución binomial por encima/por debajo de su función de distribución de Poisson limitante?

Question

Dejemos que $B(n,p,r)$ denotan la función de distribución binomial (DF) con parámetros $n \in \mathbb N$ y $p \in (0,1)$ evaluado en $r \in \{0,1,\ldots,n\}$ : \begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation} y que $F(\nu,r)$ denotan la DF de Poisson con parámetro $a \in \mathbb R^+$ evaluado en $r \in \{0,1,2,\ldots\}$ : \begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}

Considere $p \rightarrow 0$ y que $n$ definirse como $\lceil a/p-d \rceil$ , donde $d$ es una constante del orden de $1$ . Desde $np \rightarrow a$ la función $B(n,p,r)$ converge a $F(a,r)$ para todos $r$ como es bien sabido.

Con la definición anterior para $n$ Estoy interesado en determinar los valores de $a$ para lo cual \begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation} y de forma similar aquellos para los que \begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation} He podido demostrar que la primera desigualdad es válida para $a$ suficientemente menor que $r$ y, más concretamente, para $a$ inferior a un determinado límite $g(r)$ con $g(r)<r$ . Del mismo modo, la segunda desigualdad es válida para $a$ suficientemente mayor que $r$ es decir, para $a$ mayor que un determinado límite $h(r)$ con $h(r)>r$ . (Las expresiones de los límites $g(r)$ y $h(r)$ son irrelevantes aquí. Proporcionaré los detalles a quien esté interesado). Sin embargo, los resultados numéricos sugieren que esas desigualdades se mantienen para límites menos estrictos, es decir, para $a$ más cerca de $r$ de lo que puedo probar.

Entonces, me gustaría saber si existe algún teorema o resultado que establezca bajo qué condiciones se cumple cada desigualdad (para todo $p$ ); es decir, cuando se garantiza que la DF binomial está por encima/por debajo de su DF de Poisson limitante. Si tal teorema no existe, se agradecería cualquier idea o indicación en la dirección correcta.

Tenga en cuenta que una pregunta similar, formulada en términos de funciones beta y gamma incompletas, fue publicado en math.stackexchange.com pero no obtuve respuesta.

Answer 1

Con respecto a lo siguiente:

• la media de una dist binomial es $np$

• la varianza es $np(1-p)$

• la media de una dist de Poisson es $\lambda$ que podemos imaginar como $n\times p$

• la varianza de un Poisson es igual a la media

Ahora bien, si una Poisson es el límite de una Binomial con parámetros $n$ y $p$ , de tal manera que $n$ aumenta hasta el infinito y $p$ disminuye a cero mientras su producto permanece constante, entonces suponiendo que $n$ y $p$ no convergen a sus respectivos límites, la expresión $np$ es siempre mayor que $np(1-p)$ por lo que la varianza de la Binomial es menor que la de Poisson. Eso implicaría que la Binomial está por debajo en las colas y por encima en el resto.