¿Cuál es la intuición detrás de las identidades $ \cos (z)= \cosh (iz)$ y $ \sin (z)=-i \sinh (iz)$ ?

Question

Estoy tratando de entender de manera intuitiva la relación entre las funciones circulares e hiperbólicas en el plano complejo, es decir:

$$ \cos (z)= \cosh (iz)$$ $$ \sin (z)=-i \sinh (iz)$$

donde $z$ es un número complejo.

Desde un punto de vista geométrico, lo que entiendo es que el cos es la composición de una rotación a través de $ \frac { \pi }{2}$ seguido de cosh, y el pecado es la composición de una rotación a través de $ \frac { \pi }{2}$ seguido de sinh, seguido de una rotación a través de $- \frac { \pi }{2}$ (donde sin, cos, sinh, cosh se definen como funciones complejas).

¿De dónde viene esta conexión? ¿Hay alguna manera de que pueda ser visualizada en términos de mapeos complejos? (No estoy pidiendo una prueba de las identidades, ya conozco una).

Answer 1

Comentarios generales

Descargo de responsabilidad

Antes de entrar en mis mejores esfuerzos para motivar estas identidades/aprovechar alguna intuición geométrica, quiero explicar por qué creo que no habrá una respuesta muy satisfactoria publicada.

Ciertamente, cosas como la multiplicación por $i$ y el círculo unitario y la hipérbola unitaria tienen interpretaciones geométricas, pero las funciones trigonométricas (ambas circular y hiperbólica ) sólo se definen realmente de forma geométrica para entradas reales. Ellos (y el estrechamente relacionado función exponencial ) se extienden a las entradas no reales mediante continuación analítica : esencialmente, declarar por decreto que una serie de potencias o una ecuación diferencial servirá como definición para las entradas no reales también. Como ese paso no es terriblemente geométrico, no creo que pueda haber una historia ordenada que se sitúe sólo en el ámbito de la geometría. Sin embargo, podemos utilizar la geometría para pensar en las funciones trigonométricas circulares o en las hiperbólicas (pero no en ambas simultáneamente), y luego conectar los lados de la ecuación con la función exponencial (o similar).

Un panorama complejo

Ya que la pregunta decía "¿Hay alguna forma de visualizarlo en términos de mapeos complejos?", quiero señalar que hay imágenes 4D relevantes donde viven este tipo de cosas. Desgraciadamente, sólo podemos ver cortes en 3D, pero aún así se puede ver una relación relacionada. Obsérvese que, asumiendo las identidades de la ecuación, tenemos lo siguiente: $\cos\left(x+iy\right)=\dfrac{e^{i\left(x+iy\right)}+e^{-i\left(x+iy\right)}}{2}=\dfrac{e^{ix-y}+e^{-ix+y}}{2}$ . Esto se amplía a $\dfrac{e^{-y}\left(\cos x+i\sin x\right)+e^{y}\left(\cos x-i\sin x\right)}{2}=\cosh y\cos x-i\sinh y\sin x$ . Para los verdaderos $x$ y $y$ podemos decir que el parte real de $\cos\left(x+iy\right)=\cosh y\cos x$ y el parte imaginaria es $-\sinh y\sin x$ .

Así se obtienen imágenes como las siguientes:

Esto muestra $\cosh y\cos x$ . Puede ver un gráfico similar en Wolfram|Alpha .

Esto muestra $-\sinh y\sin x$ . Puede ver un gráfico similar en Wolfram|Alpha .

Se pueden obtener imágenes muy similares relacionadas con la otra identidad en $\sin\left(x+iy\right)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y$ .

Argumentos "medio geométricos"

Geometría circular

Como la pregunta "no pide una prueba", sólo me centraré en el caso de que $z$ es un número real $\theta$ aquí.

Cos y Cosh

En términos geométricos, $\cos\theta$ es el $x$ -coordenada del punto del círculo unitario que es una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de $\theta$ (radianes) desde el positivo $x$ -eje ("en un ángulo de $\theta$ "). Ayuda a pensar en $\cos\theta+0i$ como un vector en el plano complejo. Ahora, $\cosh\left(i\theta\right)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\dfrac{e^{i\theta}+e^{i\left(-\theta\right)}}{2}$ . Así que tenemos que argumentar que $2\cos\theta=e^{i\theta}+e^{i\left(-\theta\right)}$ . Pero en realidad $\varphi$ (incluyendo $\varphi=\pm\theta$ ), $e^{i\varphi}$ es el punto del círculo unitario en un ángulo de $\varphi$ (véase el apéndice). Hice un dibujo en mi cuaderno conectando estas dos expresiones geométricamente, pero salió esencialmente lo mismo que encontré en la vista previa del texto Visual Complex Analysis de Tristan Needham (específicamente en II.4):

Esto demuestra que cuando se suman los vectores de $e^{i\theta}$ y $e^{i\left(-\theta\right)}$ se obtiene el doble de la componente horizontal: $2\cos\theta$ ya que las componentes horizontales para una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj por $\theta$ y una en el sentido de las agujas del reloj son iguales.

Sin y Sinh

Hay una historia muy análoga para la otra identidad. $\sin\theta$ es el $y$ -coordenada en ángulo $\theta$ y $-i\sinh\left(i\theta\right)=-i\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}$ . Desde $-i=\dfrac{1}{i}$ Sólo tenemos que argumentar por qué $2i\sin\theta=e^{i\theta}-e^{i\left(-\theta\right)}$ . $i\sin\theta$ es el vector vertical del $y$ -coordenada de un punto en ángulo $\theta$ y la sustracción de vectores hace que la siguiente imagen sea relevante (de nuevo de II.4 del Análisis Visual Complejo):

Esto demuestra que cuando se restan los vectores de $e^{i\theta}$ y $e^{i\left(-\theta\right)}$ se obtiene el doble de componente vertical: $2i\sin\theta$ ya que las componentes verticales para una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj y en el mismo ángulo son iguales en magnitud y opuestas en dirección.

Geometría hiperbólica

Como la pregunta "no pide una prueba", sólo me centraré en el caso de que $z$ es un número "puramente imaginario" ( $ir$ para un verdadero $r$ ) aquí.

Cos y Cosh

Si $z=-i\alpha$ la primera identidad se convierte en " $\cos\left(-i\alpha\right)=\cosh\left(\alpha\right)$ ". Dejemos que $f\left(w\right)=\cosh\left(w\right)+i\sinh\left(w\right)$ que da los puntos de la hipérbola unitaria (parametrizada por el doble del área con signo subtendida por un segmento desde el origen), análogo a $\cos w+i\sin w=e^{iw}$ dando puntos en el círculo unitario. Entonces $\cos w=\dfrac{f\left(iw\right)+f\left(-iw\right)}{2}$ (al menos, esto es válido para el $w$ por los argumentos de la geometría del círculo anteriores). Así que tenemos $\cos\left(-i\alpha\right)=\dfrac{f\left(\alpha\right)+f\left(-\alpha\right)}{2}$ y debe argumentar que $f\left(\alpha\right)+f\left(-\alpha\right)=2\cosh\left(\alpha\right)$ . La imagen es muy similar a la del coseno:

Esto demuestra que cuando se suman los vectores de $f\left(\alpha\right)$ y $f\left(-\alpha\right)$ se obtiene el doble de la componente horizontal: $2\cosh\alpha$ ya que los componentes horizontales para un área de $\left|\dfrac{\alpha}{2}\right|$ sobre el eje horizontal y un área de $\left|\dfrac{\alpha}{2}\right|$ debajo del eje horizontal son los mismos.

Sin y Sinh

Hay una historia muy análoga para la otra identidad. Si $z=-i\alpha$ la segunda identidad se convierte en " $\sin\left(-i\alpha\right)=-i\sinh\left(\alpha\right)$ ". Con $f$ como en el caso anterior, tenemos $\sin w=\dfrac{f\left(iw\right)-f\left(-iw\right)}{-2}$ (al menos, esto es válido para el $w$ por los argumentos de la geometría del círculo anteriores), dando como resultado $\sin\left(-i\alpha\right)=\dfrac{f\left(\alpha\right)-f\left(-\alpha\right)}{-2}$ , por lo que debemos argumentar $f\left(\alpha\right)-f\left(-\alpha\right)=2i\sinh\alpha$ . La sustracción de vectores hace que la siguiente imagen sea relevante:

Esto demuestra que cuando se restan los vectores de $f\left(\alpha\right)$ y $f\left(-\alpha\right)$ se obtiene el doble de componente vertical: $2i\sinh\alpha$ ya que los componentes verticales para un área de $\left|\dfrac{\alpha}{2}\right|$ sobre el eje horizontal y un área de $\left|\dfrac{\alpha}{2}\right|$ por debajo del eje horizontal son iguales en magnitud y opuestas en dirección.

Apéndice: La función exponencial

Los argumentos "medio geométricos" anteriores se basaban en la conexión entre los significados geométricos de $\sin$ , $\cos$ , $\sinh$ , $\cosh$ de entradas reales, y la función exponencial. Aquí amplío esas conexiones.

El círculo de la unidad

Hay una serie de argumentos que explican por qué $e^{i\theta}$ debe ser igual a $\cos\theta+i\sin\theta$ . Una de mis líneas de razonamiento favoritas se basa en una función vectorial y sus derivadas. Consideremos una partícula que se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo unitario en el plano complejo (empezando en $1+0i$ ) a la velocidad de la unidad. Por la definición de radianes y de seno y coseno, su posición en el plano complejo en el momento $t$ viene dada por $\mathbf{s}\left(t\right)=\cos\theta+i\sin\theta$ . Como la tangente a una circunferencia forma un ángulo recto y la multiplicación por $i$ gira las cosas en sentido contrario a las agujas del reloj en un ángulo recto ( $x+iy$ se envía a $-y+ix$ ) tenemos $\mathbf{s}'\left(t\right)=ki\mathbf{s}\left(t\right)$ para algún número real positivo $k$ . Como va a velocidad unitaria, tenemos $\left|\mathbf{s}'\left(t\right)\right|=1$ para que $k=1$ como $\left|\mathbf{s}\left(t\right)\right|=\sqrt{\cos^{2}t+\sin^{2}t}=1$ . Ahora sólo tenemos que encontrar una función compleja donde $\mathbf{s}\left(0\right)=1$ y $\mathbf{s}'\left(t\right)=i\mathbf{s}\left(t\right)$ . Como la función exponencial es su propia derivada, la regla de la cadena para la diferenciación nos dice que podemos utilizar $\mathbf{s}\left(t\right)=e^{it}$ . Este argumento se trata con algo más de detalle en II.2 "Argumento de la partícula móvil" en Análisis visual de complejos .

La hipérbola unitaria

Puede haber una serie de argumentos que expliquen por qué $\left(\cosh a,\sinh a\right)$ es el punto de la hipérbola unitaria que subtiende un área de $a/2$ pero no conozco ninguna extremadamente ordenada. Un método sencillo pero muy tedioso es establecer el área como una integral y pasar por varias integrales trigonométricas, como en http://www.mathed.soe.vt.edu/Undergraduates/EulersIdentity/HyperbolicTrig.pdf . Sin embargo, esto se puede hacer de una manera un poco más inteligente, girando primero para estar en el primer cuadrante y haciendo algunas observaciones. Lo que sigue se inspira en el tratamiento del Dr. James B. Calvert en "Hyperbolic Fucntions" en http://mysite.du.edu/~jcalvert/math/hyperb.htm con algunos cambios de redacción; no he llegado a este planteamiento de forma independiente:

La hipérbola unitaria satisface $x^{2}-y^{2}=1$ y nos interesa la rama con $x>0$ . Podemos girar esto por $\dfrac{\tau}{8}=\dfrac{\pi}{4}$ con la sustitución $x-y=z\sqrt{2}$ y $x+y=w\sqrt{2}$ . La ecuación se convierte entonces en $zw=1/2$ y nos interesa la rama con $z,w>0$ . Consideremos el siguiente diagrama, en el que $\overrightarrow{OQ}$ es el positivo $z$ eje, $A$ es el punto $\left(z,w\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ (para que $\left(x,y\right)=\left(1,0\right)$ ), $P$ es un punto arbitrario con $\left(z,w\right)=\left(p_{1},p_{2}\right)$ , $B$ es el punto con $\left(z,w\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ y $Q$ es el punto $\left(z,w\right)=\left(p_{1},0\right)$ :

El área de $OAP$ buscamos es la diferencia $\text{area}OAPQ-\text{area}\triangle OPQ$ . Ahora, $\triangle OPQ$ tiene área $\dfrac{1}{2}p_{1}p_{2}$ . Pero como $P$ se encuentra en la hipérbola, $p_{1}p_{2}=\dfrac{1}{2}$ y así el área de $\triangle OPQ$ es $\dfrac{1}{4}$ . Tenga en cuenta que esta es también la zona de $\triangle OAB$ ya que ese triángulo tiene base y altura iguales a $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ . Por lo tanto, sólo tenemos que encontrar $\text{area}OAPQ-\text{area}\triangle OAB$ que es una integral directa en el $zw$ -Avión: $\int_{1/\sqrt{2}}^{p_{1}}\dfrac{1}{2z}\,\mathrm{d}z=\dfrac{1}{2}\left(\ln\left|p_{1}\right|-\ln\left|\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right|\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(\sqrt{2}p_{1}\right)$ . Si $P$ 's $xy$ -las coordenadas son $\left(x,y\right)$ entonces $\sqrt{2}p_{1}=x+y$ y encontramos que el área es $\dfrac{1}{2}\ln\left(x+y\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+y^{2}}+y\right)=\dfrac{1}{2}\sinh^{-1}y$ cuando $\sinh t$ se define como $\dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}$ que es exactamente lo que estábamos buscando. Una vez que tengamos eso $\sinh t$ es correcta, podemos resolver para $\cosh t$ utilizando $x^{2}-y^{2}=1$ y $x>0$ .

Answer 2

No lo considero una intuición. Es simplemente tomar $\cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2$ con $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ y permitiendo que los valores complejos se utilicen en cualquier lugar.

Todo esto, para mí, se justifica por la serie de potencia que converge en cualquier lugar del plano complejo.

Answer 3

Puedes visualizar su conexión utilizando paquetes matemáticos como (Maple, Mathematica , Matlab, etc.). La respuesta para la tarea actual puede verse como simetría central de los gráficos para el valor absoluto (en la imagen) y, análogamente, para el argumento.

$f(z)=|\cos(z)|,\quad z=x+iy$