Irreductibilidad de polinomios ciclotómicas sobre campos de número de

Question

Que $K$ sea un campo numérico, es decir, una extensión finita de $\mathbb{Q}$. Un número entero positivo $n$, que $\Phi_n(X)$ denotan la $n$-th ciclotómicas polinomio.

¿Es posible decir allí existe a lo más finito muchos $n$ tal que $\Phi_n(X)$ reducible $K$, es decir, todos sino finito muchos %#% de #% son irreducibles en $\Phi_n(X)$? ¿Si no, entonces por lo menos decir que hay infinitamente muchos $K$, que $n$ es irreducible en $\Phi_n(X)$?

Answer 1

Podemos decir que no siempre será infinitamente muchos cyclotomic polinomios que permanecen irreductibles.

Esto se ve de la siguiente manera. El polinomio $\Phi_n(X)$ es irreducible sobre $K$ si y sólo si $[K(\zeta_n):K]=\phi(n)=\deg \Phi_n(X)$. Supongamos ahora que $p$ es racional, el primer que es unramified en $K$. Sin duda, usted sabe que hay sólo un número finito ramificada de los números primos. Me dicen que si $n=p^k$, $k$ un entero positivo, entonces esto es. Esto es debido a que $p$ es totalmente ramificado en la extensión de $\Bbb{Q}(\zeta_n)/\Bbb{Q}$. Como $p$ es unramified en $K/\Bbb{Q}$ se debe, por multiplicativity de $e$, $e(\mathfrak{P}\mid \mathfrak{p})=\phi(p^k)$ para todo el primer ideales $\mathfrak{p}$ sobre $p$$K$$\mathfrak{P}$$K(\zeta_n)$.

Debido a que el índice de ramificación es siempre limitada desde arriba por el grado de la extensión de campo, debemos tener $[K(\zeta_n):K]\ge \phi(p^k)$, y la demanda de la siguiente manera.

Así que podemos decir que $\Phi_p(X)$ permanece irreductible para todos, pero un número finito de números primos (el unramified queridos y posiblemente algunos otros).

Sin embargo, no podemos concluir que el $\Phi_n(x)$ permanece necesariamente irreducible para todos, pero un número finito de números naturales $n$. Si uno de los $\Phi_n(X)$ factores $K$, entonces todos los $\Phi_{m}(X)$ tal que $n\mid m$ factor de $K$ también. Esto es debido a que $[K(\zeta_m):K(\zeta_n)]$ es siempre en la mayoría de las $\phi(m)/\phi(n)$, cuando se $n\mid m$. Por consiguiente, si $[K(\zeta_n):K]<\phi(n)$ también $[K(\zeta_m):K]<\phi(m)$ siempre $n\mid m$.

Answer 2

Lo que sobre el siguiente argumento?

Vamos a demostrar que para todos, pero un número finito de números primos $p$, $\Phi_p(X)$ es irreducible sobre $K$. Como en el anterior aquí también trabajamos con un primer $p$ que no se ramifican en $K$. Ahora las tres declaraciones siguientes son equivalentes.

1) El polinomio $\Phi_p(X)$ es irreducible sobre $K$.

2) $[K(\zeta_p):K]=p-1$.

3) $K \cap \mathbb Q(\zeta_p)=\mathbb Q$.

Ahora considere los siguientes dos torres de campo extensiones: $\mathbb Q \subseteq K \cap \mathbb Q(\zeta_p) \subseteq K$$\mathbb Q \subseteq K \cap \mathbb Q(\zeta_p) \subseteq \mathbb Q(\zeta_p)$. En el primer caso, $p$ es un prime que no se ramifican. En el segundo caso $p$ es la única prime que ramifies. Por lo tanto, si $K \cap \mathbb Q(\zeta_p)\neq \mathbb Q$, considerando un primer $q$ que ramifies en $K \cap \mathbb Q(\zeta_p)$, llegaremos a una contradicción.