$ \def\vA {{ \vec A}} \def\vB { \vec {B}} \def\vH {{ \vec H}} \def\vS {{ \vec S}} \def\vpsi {{ \vec\psi }} \def\div {{ \rm div}} \def\grad {{ \rm grad}} \def\rot {{ \rm rot}} \def\rmr {{ \rm r}} \def\pd { \partial } \def\nR {{ \mathbb {R}}} \def\ltag #1{ \tag {#1} \label {#1}}$ Depende mucho de lo que quieras modelar. Si quieres incluir dipolos en tu modelo debes cambiar a espacios de distribución. Pero, mantengámonos en un subespacio de $L^2( \Omega )$ .
El espacio $L^2( \Omega )$ es demasiado grande para dar ecuaciones como \begin {alinear} \div\vB &= 0. \end {alinear} sentido. Por otro lado, a menudo se tienen discontinuidades de $ \mu_\rmr $ en algunas capas límite. Allí el componente tangente de $ \vB $ puede ser discontinuo y $ \div $ en el contexto clásico no tiene sentido.
Por lo tanto, hay que pasar a los derivados generalizados. La regla de integración por partes \begin {alinear} \int_ { \Omega } \psi\cdot \div ( \vB ) d V &= \int_ { \pd\Omega } \psi\ ; \vB\cdot d \vA - \int_ { \Omega } \grad ( \psi ) \cdot \vB dV \ltag {weakDiff} \end {alinear} se utiliza para transferir la diferenciación de $ \vB $ para probar las funciones $ \psi $ y se utiliza el lado derecho para definir la generalizada $ \div $ operador.
Si hay un $L^2$ función " $b$ " de tal manera que \begin {alinear} \int_ { \Omega } \psi b\; d V &= \int_ { \pd\Omega } \psi\ ; \vB\cdot d \vA - \int_ { \Omega } \grad ( \psi ) \cdot \vB dV \end {alinear} para todos los suaves $ \psi $ con apoyo limitado en $ \bar\Omega $ entonces definimos el operador de divergencia generalizada para $ \vB $ como $ \div\vB :=b$ y decimos eso por $ \vB $ existe la débil divergencia en $ \Omega $ . El espacio $H( \div , \Omega )$ es el conjunto de todos $L^2$ -funciona en $ \Omega $ para el cual existe la débil divergencia.
Note, que la superficie integral en \ref {weakDiff} debe ser tratada de manera especial, ya que la superficie es en realidad un conjunto de medida cero en $ \nR ^3$ . Si tan solo usáramos $L^2( \bar \Omega )$ entonces podríamos modificar $ \vB $ en $ \partial\Omega $ arbitrariamente. Por lo tanto, el $ \vB $ -campo en el límite debe entenderse en realidad como el trace del campo en el límite. Para que el rastro exista existen restricciones adicionales en el límite de $ \Omega $ (poco a poco $C^1$ con bordes no muy "afilados"). Por lo tanto, no todos los dominios $ \Omega $ son realmente apropiados para el modelado de los campos magnéticos.
Obsérvese que la situación es similar en el caso de la ley de Amperio \begin {alinear} \rot\vH = \vS \end {alinear} donde necesitamos $ \rot\vH $ . El componente normal de la intensidad de campo puede ser discontinuo en las capas límite. En este caso se utiliza la ecuación \begin {alinear} \int_ { \Omega } \vpsi\cdot \rot ( \vH )dV = \int_ { \pd\Omega } \vpsi\cdot (d \vA\times\vH ) + \int_ { \Omega } \vH\cdot \rot ( \vpsi ) dV \end {alinear} para definir un operador de rizo generalizado $ \rot\vH $ . El conjunto de campos para los cuales $ \rot\vH\in L^2( \Omega )$ se llama $H( \rot , \Omega )$ .
Interesantemente, $ \vB $ y $ \vH $ viven en diferentes espacios y $ \mu $ debe mediar entre estos espacios $ \mu : \vH\in H( \rot , \Omega ) \mapsto \vB =( \mu\vH ) \in H( \div , \Omega )$ .
