Es $f(x)= \cos(e^x)$ ¿uniformemente continua?

Question

Como en el tema, mi búsqueda es comprobar (y demostrar) si la función dada $$f(x)= \cos(e^x)$$ es uniformemente continua en $\left\{\begin{matrix}x \in (-\infty;0] \\ x \in [0; +\infty) \end{matrix}\right.$ .

Mi problema es que no tengo ni idea de cómo hacerlo. Cualquier pista será agradecida y no os sintáis ofendidos si os hago una pregunta que consideréis estúpida, pero así son los comienzos. Gracias de antemano.

Answer 1

Existe una continuidad uniforme para $x \in (-\infty,0]$ porque la derivada $f'(x)=-e^x \sin(e^x)$ está acotado allí ( $|f'(x)| \le 1$ allí):

Dejemos que $\varepsilon>0$ sea dado, y suponga $|x_1-x_2|<\delta=\varepsilon$ . Aplicar el teorema del valor medio de Lagrange: $|f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi)| |x_1-x_2| \le 1 \cdot |x_1-x_2|<\varepsilon$ . ( $\xi$ es un número entre $x_1$ y $x_2$ ).

Hay no continuidad uniforme en $[0,+\infty)$ sin embargo. Para ver esto mira los pares de puntos $x_n=\ln (2\pi n),y_n=\ln((2n+1) \pi)$ Se acercan más que cualquier $\delta$ Sin embargo, la distancia entre sus valores f es siempre 2.

Answer 2

Tenga en cuenta que $f$ es diferenciable en $\mathbb{R}$ y $f'(x)=-e^x\sin{(e^x)}.$

Dejemos que $x_n=\ln{\left(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\right)}, \;\; y_n= \ln{\left(\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\right)}.$ Entonces $$|x_n-y_n| = {\ln{\left(\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\right)} -\ln{\left(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\right)}}=\ln{\dfrac{\dfrac{\pi}{3}+2\pi n}{{\dfrac{\pi}{6}+2\pi n}}}=\\ = \ln{\left(1+\dfrac{1}{1+12 n }\right)}\sim \dfrac{1}{1+12 n }, \;\; n\to \infty .$$
Por el teorema del valor medio (de Lagrange) $$|f(x_n)-f(y_n|=|f'(\xi_n)|\cdot|x_n-y_n|=e^{\xi_n}|\sin(e^{\xi_n})|\cdot|x_n-y_n|\geqslant \\ \geqslant e^{x_n}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1+12 n }=\dfrac{\dfrac{\pi}{6}+2\pi n}{2+24n} \underset{n\to\infty}{\rightarrow} \dfrac {\pi}{12},$$ lo que demuestra que $f$ no es uniformemente continua en $[0,\;+\infty)$ .

Answer 3

El derivado no es necesario, se puede sustituir $\cos$ con cualquier función continua periódica no constante $g$ :

Dejemos que $g\colon \mathbb R\to\mathbb R$ sea

• continuo
• no constante
• periódico.

Entonces, para cualquier $a\in \mathbb R$ la función $f(x):=g(e^x)$ es

• uniformemente continuos en $(-\infty,a]$
• no es uniformemente continua en $[a,\infty)$

Prueba: Toda función continua es continua en intervalos compactos, por lo que toda función continua periódica es uniformemente continua

Dejemos que $\epsilon>0$ sea dada. Entonces existe $\delta>0$ tal que $|g(x)-g(y)|<\epsilon$ si $|x-y|<\delta$ . Wlog. $\delta<e^a$ . Entonces $0<1-\delta e^{-a}<1$ por lo tanto, ad $\delta':=-\ln(1-\delta e^{-a})>0$ . Ahora considere $x,y<a$ con $|x-y|<\delta'$ . Wlog. $x\le y$ . Entonces $$e^y-e^x=e^y(1-e^{x-y})<e^a(1-e^{-\delta'})=\delta$$ y por lo tanto $$ |f(x)-f(y)|=|g(e^x)-g(e^y)|<\epsilon.$$ Así, $f$ es uniformemente continua en $(-\infty,a]$ .

Como $g$ no es constante, existe $x_1, x_2$ con $g(x_1)\ne g(x_2)$ . Dejemos que $\epsilon=|g(x_1)-g(x_2)|>0$ . Sea $p>0$ sea un período de $g$ . No importa lo pequeño que elijamos $\delta>0$ para un tamaño suficientemente grande $k\in\mathbb Z$ (especialmente con $x_i+kp>e^a>0$ ), tenemos $|\ln(x_1+kp)-\ln(x_2+kp)|<\delta$ porque $$\ln(x_1+kp)-\ln(x_2+kp)=\ln\frac{x_1/k+p}{x_2/k+p}\to\ln1=0$$ como $k\to+\infty.$ Pero entonces $$|f(\ln(x_1+kp))-f(\ln(x_2+kp))|=|g(x_1+kp)-g(x_2+kp)|=|g(x_1)-g(x_2)|=\epsilon $$ por lo que vemos que $f$ no es uniformemente continua en $[a,\infty)$ . $_\square$

Answer 4

Es uniformemente continua en el intervalo $(-\infty,0]$ . Para verlo, utiliza el teorema del valor medio dos veces.

Añadido: Explotación de las identidades $ |\cos(t) - \cos(z)|\leq | t-z | $ y $ |e^x - e^y| \leq | {x}-{y} | $ en $(-\infty,0]$ que se pueden demostrar por el teorema del valor medio, tenemos

$$ | \cos(e^{x}) - \cos(e^{y})|\leq | e^{x}-e^{y} |\leq| x-y |< \epsilon=\delta. $$